bzoj 3231 & 洛谷 2461 题解(Flag=1)

题意简述

（纯代数）定义数列$a_i=$
$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}{b}_i(i<=k)\\ \\ \\ \sum _{j=1}^k{a}_{i-j}{c}_j(i>k)\end{array} \\ (b_i,c_i<=10^9) \end{gathered}$$
求$a$数组从$m$到$n(m,n<=10^{18})$的和模$p(p<=10^8)$的值，也就是$\sum _{i=m}^n{a}_i\%p$

数据

输入
2
1 1
1 1
2 10 1000003
输出
142

思路

一个朴素的思路：暴力递推。
发现$n,m$的数据是$10^{18}$，显然会$TLE$。
所以需要一个很快的算法，要么是矩阵快速幂，要么是玄学的$O(1)$公式。明显，$k$很大（会到$15$），所以公式是没有的。需要矩阵快速幂的做法。
（矩阵快速幂目前还没写博客，留一个$Flag$在这里）
现在设$Calc(x)$为求$a_1$到$a_x$的和，那么答案=$Calc(n)-Calc(m-1)$（以下省略取模）。
考虑如何求$Calc(x)$。
我们要求的是一段前缀和，而不是具体一项。
wdnmd这怎么求？？？
想想发现，我们珂以在矩阵里面顺便维护上和啊！！！

那么我们的矩阵就是一个$1\times (k+1)$的矩阵，前面$k$个是当前的$a$值，第$k+1$个是和。然后每次乘一个$(k+1)\times (k+1)$的矩阵转移，最后取第一行第$k+1$个，就能求出$Calc(x)$了。

剩下的部分分为$2$步。

$Step1.$求初始矩阵

初始矩阵就是$x=1$时的情况，也就是
$$\left[\begin{array}{ccc}{b}_1& b_2\cdots & \sum _{i=1}^k{b}_i\end{array}\right]$$
为了方便表述，设$s$为$b$的前缀和，即$s_x=\sum _{i=1}^x{b}_i$。
那么初始矩阵就是
$$\left[\begin{array}{ccc}{b}_1& b_2\cdots & s_k\end{array}\right]$$
在代码中，这个矩阵的名字叫$Initial$。
$Step1Solved$

$Step2.$求转移矩阵
我们要求一个转移矩阵$Transit$使得：
$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{ccc}{b}_1& b_2\cdots & s_k\end{array}\right]\times Transit= \\ \left[\begin{array}{ccc}{b}_2& b_3\cdots & s_{k+1}\end{array}\right] \end{gathered}$$
考虑到矩阵乘法的规则，我们会发现：
$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^k{b}_{i}Transit[i][1]+s_{k}Transit[k+1][1]=b_2{(}^{[1]}) \\ \sum _{i=1}^k{b}_{i}Transit[i][2]+s_{k}Transit[k+1][2]=b_3{(}^{[2]}) \\ \cdots \\ \sum _{i=1}^k{b}_{i}Transit[i][k-1]+s_{k}Transit[k+1][k-1]=b_k{(}^{[k-1]}) \\ \sum _{i=1}^k{b}_{i}Transit[i][k]+s_{k}Transit[k+1][k]=b_{k+1}{(}^{[k]}) \\ \sum _{i=1}^k{b}_{i}Transit[i][k+1]+s_{k}Transit[k+1]k+1]=s_{k+1}{(}^{[k+1]}) \end{gathered}$$
（后面括号里的是式子编号，和式子本身无关）
对于式子${(}^{[1]})$到式子${(}^{[k-1]})$，因为$b_2,b_3\cdots b_k)$都是两个矩阵里面共有的部分，只要让$Transit[i][i-1]=1$，其余$Transit[i]$的值均为$0$即可。
对于式子${(}^{[k]})$，根据$a$的递推式，只要让$Transit[][k]$(即第k列)$=c_1,c_2\cdots c_k,0$即可。
对于式子${(}^{[k+1]})$，根据$s$的定义，我们知道$s_{k+1}=sk+ak+1$，其中$s_k$是上一个矩阵中的一项，$a_{k+1}$的表示法刚刚已经写过了，所以这个$Transit[][k+1]$（即第k+1列）$=c_1,c_2\cdots c_k,1$。在代码中，把这个数组的名字简写为$Trans$。

如果这一大串字看不懂，举个栗子：
$k=4$
$$\begin{gathered} Transit= \\ \left[\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& c_4& c_4\\ 1& 0& 0& c_3& c_3\\ 0& 1& 0& c_2& c_2\\ 0& 0& 1& c_1& c_1\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right] \end{gathered}$$
备注：如果这个都看不懂，您珂以选择：
1.去请教同学/老师/同班巨佬
2.手动模拟一遍，把$k=4$带入，然后把上面那个$Transit$矩阵和$Initial$矩阵手动乘一遍，就明白了
3.意会

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define mod p
#define K 20
#define int long long
using namespace std;
int n,m,p;

struct mat//封装结构体
{
    int m[K][K];//矩阵
    int* operator[](int i)//封装取下标运算符
    {
        return m[i];
    }

    mat(int x)//初始化矩阵全部为x
    {
        for(int i=0;i<K;i++)
        {
            for(int j=0;j<K;j++)
            {
                m[i][j]=x;
            }
        }
    }
    void Set(int x=0)//方便初始化之后全部设置为x（这个里面没有用到）
    {
        for(int i=0;i<K;i++)
        {
            for(int j=0;j<K;j++)
            {
                m[i][j]=x;
            }
        }
    }
    void Identity()//单位矩阵
    {
        Set(0);
        for(int i=0;i<K;i++)
        {
            m[i][i]=1;
        }
    }
};
mat operator*(mat x,mat y)//封装乘法
{
    mat ans(0);

    for(int i=1;i<K;i++)
    {
        for(int j=1;j<K;j++)
        {
            ans[i][j]=0;
            for(int k=1;k<K;k++)
            {
                ans[i][j]+=x[i][k]*y[k][j];
                ans[i][j]%=mod;//取模。。。
            }
        }
    }
    return ans;
}
mat operator^(mat x,int p)//封装快速幂
{
    mat ans(0);ans.Identity();//初始为单位矩阵
    while(p)
    {
        if (p&1) ans=ans*x;
        x=x*x,p>>=1;
    }//和快速幂差不多
    return ans;
}

int k;
int b[K],c[K];
int s[K];
void Input()
{
    scanf("%lld",&k);
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        scanf("%lld",&b[i]);
    }
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        scanf("%lld",&c[i]);
    }
    scanf("%lld%lld%lld",&m,&n,&p);

    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        s[i]=(s[i-1]+b[i])%mod;//处理前缀和
        b[i]%=mod;
        c[i]%=mod;
    }
}

int Calc(int x)
{
    if (x<=k)//这个很显然
    {
        return s[x];
    }
    else
    {
        mat Initial(0);//Initial矩阵
        for(int i=1;i<=k;i++) Initial[1][i]=b[i];
        Initial[1][k+1]=s[k];

        mat Trans(0);//Trans矩阵
        for(int i=1;i<=k;i++)
        {
            Trans[i][k]=Trans[i][k+1]=c[k-i+1];
        }
        for(int i=2;i<=k;i++)
        {
            Trans[i][i-1]=1;
        }
        Trans[k+1][k+1]=1;//构造方法见上面

        mat ans=Initial*(Trans^(x-k));
        return ans[1][k+1];
    }
}

int Q[100];
main()
{
    Input();
    printf("%lld\n",(Calc(n)%mod-Calc(m-1)%mod+mod)%mod);
    //这边取绝对模，要先膜，再加，再膜
    return 0;
}