洛谷 2647 最大收益题解

最新推荐文章于 2024-10-25 14:58:48 发布

原创最新推荐文章于 2024-10-25 14:58:48 发布 · 269 阅读

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该博客探讨了洛谷一题，涉及选择物品以最大化收益的问题。每个物品有收益和减损值，选择会影响后续物品的收益。博主通过排序和动态规划策略解释了解题思路，将物品按减损值逆序排序，并提出关键在于确保减损值最小的物品在前面。

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题意简述

给定 $n (< = 3000)$ 个物品，每个物品有收益 $w_i(<=2e5)$ ，以及一个减损值 $r_i(<=2e5)$ 。当你选择了物品 $i$ 之后，珂以获得 $w_i$ 的收益，但是以后的所有物品的收益值都会减少 $r_i$ 。减少是珂以叠加的（甚至变成负的）。求最大收益。

思路框架

首先是无序的，先排个序。然后就 $d p$ 。设 $d p [i] [j]$ 表示前 $i$ 个物品选 $j$ 个的最大收益。然后 $d p [i] [j] = m a x (d p [i - 1] [j], d p [i - 1] [j - 1] + w [i] - r [i] * (j - 1)$ ，其中 $(w, r)$ 被作为结构体按 $r$ 逆序排序。

具体思路

显然要排序。但是我们如何排序呢？

我们想来想 $d p$ 方程。显然，我们有 $d p [i - 1] [j]$ 这个转移，这是不选第 $i$ 个的情况。当然，也要考虑选第 $i$ 个的情况，即 $d p [i - 1] [j - 1] + . . .$ 。然后我们发现我们不会转移了。

如果我们把第 $i$ 个当成是最后选的当然没法转移。

但是，我们珂以把它当成第一个选的

然后就出来了方程 $d p [i] [j] = m a x (d p [i - 1] [j], d p [i - 1] [j - 1] + w [i] - r [i] * (j - 1))$ 。

但是这样就一定对么？

我们要保证 $r [i]$ 是最小的才对，不然最优的选项应该在更前面。所以我们把这些物品按 $r$ 逆序排序排序即珂。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandre_Scarlet
{
    #define N 3333
    #define int long long 
    #define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
    #define D(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)
    #define Fs(i,l,r,c) for(int i=l;i<=r;c)
    #define Ds(i,r,l,c) for(int i=r;i>=l;c)
    #define Tra(i,u) for(int i=G.Start(u),__v=G.To(i);~i;i=G.Next(i),__v=G.To(i))
    #define MEM(x,a) memset(x,a,sizeof(x))
    #define FK(x) MEM(x,0)

    struct node{int w,r;}a[N];
    bool operator<(node a,node b){return a.r>b.r;}
    int n;
    void R1(int &x)
    {
        x=0;char c=getchar();int f=1;
        while(c<'0' or c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
        while(c>='0' and c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
        x=(f==1)?x:-x;
    }
    void Input()
    {
        R1(n);
        F(i,1,n) R1(a[i].w),R1(a[i].r);
    }

    int dp[N][N];
    void Soviet()
    {
        sort(a+1,a+n+1);
        dp[1][1]=a[1].w;
        F(i,1,n) F(j,1,i)
        {
            dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]+a[i].w-a[i].r*(j-1));
        }
        int ans=0;
        F(i,1,n) ans=max(ans,dp[n][i]);
        printf("%lld\n",ans);
    }

    #define Flan void
    Flan IsMyWife()
    {
        Input();
        Soviet();
    }
    #undef int //long long 
}
int main()
{
    Flandre_Scarlet::IsMyWife();
    getchar();getchar();
    return 0;
}