【动态规划】0-1背包递推式的剖析（通俗易懂）

（如有错误，恳请斧正）
递推式如下：

vi是第i件物品的价值，wi是第i件物品的所占空间。

m(i,j) 代表的含义是：目前只考虑第1到第i件物品放入总容量为j的背包所获得的最大价值。（背包总容量不可变并且千万不要误认为j是背包的剩余容量，第1到第i件物品都可以选择放或者不放入背包）。

现在我们考虑把第i件物品放入背包的决策方法：
①如果背包的总容量j小于第i件物品的所占空间，那么即使把背包里原来已经装入的所有东西都倒出来也放不进第i件物品，故此时所能获得的最大价值与只考虑第1到第i-1件物品放入总容量为j的背包所获得的最大价值相同。（第i件物品考虑了个寂寞~）

②如果背包的总容量j大于等于第i件物品的所占空间，此时有两种策略，一是不把第i件物品放入背包中，所以这种情况获得的最大价值与m(i-1,j) 相同。二是把第i件物品放进背包，若进行这种策略，那么总容量为j的背包必须分配wi的空间给第i件物品，相当于第1到第i-1物品是只能放在总容量为j-wi的背包中，这种策略获得的价值就是m(i-1,j-wi)+vi。综上，第②种情况就要在m(i-1,j)与m(i-1,j-wi)+vi中选个价值大的。

对于0-1背包填表的问题，就是按照上述思路从上到下，从左至右依次完成。例如
图转载于【动态规划】01背包问题（通俗易懂，超基础讲解）_Yngz_Miao的博客-优快云博客_01背包
表格第i行，就是背包总容量在0~8变化时，只考虑放入第1到第i件物品所获得的最大价值。