Codeforces 813D Two Melodies 题解

原链接
洛谷
Codeforces

题意简述

给定一个$n(n<=5000)$，以及$n$个数$a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n(a_i<=1e5)$定义一个$Melody$子序列(和"最长上升子序列"中的"子序列"定义一样，是指在原序列中相对顺序不变但是不一定连续的一段子序列)如下:

对于任意相邻的两个元素，一定满足这两个元素差为1或者两个元素除7同余。

请在原序列中找出两个无重复部分的$Melody$子序列并且选出的两个长度加起来最大。

（偷偷开心一下：这个盗的是洛谷上的翻译，它是我提供的）

数据

输入

第一行一个正整数$n$
接下来一行有$n$个正整数，顺序给出$a_1,a_2\cdots a_n$

输出

如题。最长的两段不重复$Melody$序列的长度和。

样例

输入
4
1 2 4 5
输出
4

输入
6
62 22 60 61 48 49
输出
5

解释

解释:样例2中选出$62,48,49$和$60,61$这两个$Melody$子序列能使得总长度最大$=5(\text{即2+3})$

思路

很久以前，看到这个题，只看懂了题意，不会做。但是为了搞社区贡献就交了翻译，过了（事实证明没什么用）。

现在终于会做了，写篇题解纪念一下。。。

显然是个$dp$吧。。。我们有一个朴素的$dp$方程，$dp[i][j]$表示第一段到$i$，第二段到$j$的最大长度和。显然，我们要找一个最大的$k$满足$a[k]=a[j]\pm 1$或$a[k]\equiv a[j](\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$。此时用$dp[i][k]+1$更新$dp[i][j]$。$dp[i][j]$初始值设为$dp[i][0]+1$。

但是显然这个转移是$O(n^3)$d的，过不去。所以我们想想如何优化。此时注意到$a_i<=1e5$，这告诉我们我们珂以把$a_i$作为数组下标。设$maxm[x]$表示满足$a[k]\equiv x(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$的$k$中$dp[i][k]$最大的，注意$x\in [0,7)$。$maxn[x]$表示满足$a[k]=x$的$k$中$dp[i][k]$最大的。当然，我们每次枚举$i$的时候，都要计算一下这个$maxm$和$maxn$。除此之外，我们在一边计算$dp[i][j]$的时候也要记得一边更新$maxm$和$maxn$。

（Q：为什么叫$maxm$和$maxn$？）
（A：$m$结尾表示$modulo$，即模运算。$n$结尾表示$number$，即数值。洛谷上的M_sea巨佬称其为$maxmod$和$maxnum$。）

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandle_Scarlet
{
    #define N 5010
    #define Val 100100
    int n,a[N];
    void Input()
    {
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
        }
    }

    int dp[N][N];
    int maxm[7],maxn[Val];
    bool check(int a,int b) // 判断 a 和 b 是否能在原序列中相邻
    {
        if ((a-b)%7==0) return 1;
        if (abs(a-b)==1) return 1;
        return 0;
    }
    int max4(int a,int b,int c,int d)//四个取最值
    {
        return max(max(a,b),max(c,d));
    }
    int up(int &x,int y)//用y更新x的最大值
    {
        x=max(x,y);
    }
    void DP()
    {
        int ans=-1;
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=0;i<=n;++i)
        {
            memset(maxn,0,sizeof(maxn));
            memset(maxm,0,sizeof(maxm));
            for(int j=1;j<=i;++j)
            {
                up(maxm[a[j]%7],dp[i][j]);
                up(maxn[a[j]],dp[i][j]);
            }// 转移方程
            for(int j=i+1;j<=n;++j)
            {
                dp[i][j]=max4(dp[i][0],maxm[a[j]%7],maxn[a[j]-1],maxn[a[j]+1])+1;
                // 讨论四种情况取最大值
                up(maxm[a[j]%7],dp[i][j]);
                up(maxn[a[j]],dp[i][j]);//记得更新maxm个maxn
                up(ans,dp[i][j]);//更新答案
                dp[j][i]=dp[i][j];///对称的，所以答案一样（这个上面忘了说了，不写就WA声一片了）
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
    }

    void Main()
    {
        Input();
        DP();
    }
};
main()
{
    Flandle_Scarlet::Main();
    return 0;
}