洛谷 3223 [HNOI2012]排队 题解（组合数学，高精）

原题链接：
bzoj
洛谷

题意简述

有$n$个男同学，$m$个女同学，两个老师。任意两名女同学不能相邻，两个老师也不能相邻。求有多少种不同的队列？（注意：任意两个人都是不同的，并且区分顺序）

数据

输入

$n,m$

输出

答案

样例

输入
1 1
输出
12

思路

首先：如果您要问，排列组合是啥？基本概念？请参考我的博客：组合数学基础知识，打好基础。如果只是要看懂这篇博客的话，看看定义即可。如果想稍微深入的了解组合数学，或者要活跃思维，可以看看后面的例题。

如果有一定的基础，就会发现，最妨碍计算的就是那两个老师（果然，无论如何，老师都是学生最讨厌的）

如果没有那两个老师，就是"插空法"，把$m$个女生放在$n$个男生组成的$n+1$个空里面，就保证一定会有至少一个男生间于任意两个女生之间（除非男生不够）。这样就是排列组合的模板。

珂是有了老师后，就要分类讨论。

1. 包含"两个老师中间夹着一个女生"这样的子队列。
   这个时候，"两个老师中间夹着一个女生"就是一个整体了。再加上$n$个男生，就相当于$n+1$个物体，会组成$n+2$个空。其中女生，男生，老师都是不同的。所以要用排列组合中的排列（$A$），分三步，来求解这个东西。
   step1. 确定男生：$A_n^n$种方案。
   step2. 确定老师：$A_2^2=2$种方案。（这两个都是随便排的）
   step3. 确定选哪个女生：$m$ 种方案
   step4. 确定"两个老师中间夹着一个女生"放在哪：
   $(n+1)$种（这一整个结构要放在男生组成的空里面）
   step5. 确定女生插在哪：$A_{n+2}^{m-1}$种方案。（插空排列）
   这样，总方案数就是四者相乘：$A_n^n\ast 2\ast (n+1)\ast A_{n+2}^{m-1}$种。

2. 两个老师之间夹着一些女生，一些男生
   随便插空即珂，比上面那个简单多了。
   男生：$A_n^n$种（明显）
   老师：$A_{n+1}^2$种（老师插在男生组成的$n+1$个空里面）
   女生：$A_{n+3}^m$种（女生插在老师和男生组成的$n+3$个空里面）

这样加起来即珂。但是我懒得打高精，所以。。。

Python！！！

代码：

def f(n):
    ans=1
    for i in range(1,n+1):
        ans*=i
    return ans
def A(n,m):
    return f(n)//f(n-m)

s=input().split(' ')
n=int(s[0])
m=int(s[1])
ans=0
if(n+1>=2 and n+3>=m):
    ans+=f(n)*A(n+1,2)*A(n+3,m)
if(n+2>=m-1 and m>=1):
    ans+=2*(n+1)*m*f(n)*A(n+2,m-1)
print(ans)

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