题解 洛谷P1361 小M的作物

题解 洛谷P1361 小M的作物

Date 2019.8.9

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题目大意

有两块容量为无限大的耕地A，B。对于每一种种子，种在A里的收益为a_i，种在B里的收益为b_i。特别地，对于m种组合，如果组合中的种子全部种在A里，可以获得c1的额外收益，全部种在B里则可以获得c2的额外收益。求最大的收益。

思路

我们考虑对于一种种子要不在A地，要不在B地。当我们取其中一种情况时，就要把另一种舍去。如果在图上有一条边连接当前的种子和A，我们就要把将它和B连起来的边断开。
这不就是最小割吗？！
但怎么建图呢？
显然我们可以取A为源点，取B为汇点。对于任意一点，我们连一条从A到当前点的边，容量为a_i，再连一条从当前点到B的边，容量为b_i。
以上是最普通的情况，那么对于那m种组合，我们应该怎么去处理呢？
假设现在有一种组合对应着一个点集{u,v}，只要u和v中的任意一个不在A中，我们就无法得到c1的额外收益。我们肯定不可以分别从A连向u，v，因为这个样子即使到v的边断了，到u的边依然有可能会使c1的额外收益流到汇点，但这并不合题意。
也就是说，我们需要有一条边满足只要这条边被割断，那么c1的额外收益就肯定不会流到汇点。
那么这条边应该由A连向谁呢？显然不可能是图中原有的点了，因为不管是c1还是c2，都是这整个组合的额外收益，所以c1要能流入这个点集中的任意一个点。
那么解决方案就十分明显了——建一个虚点x，从A连一条边到x，边的容量为c1；再从x连向点集中的每一个点，边的容量为无穷大，即无法被割断。
对于点集里的点到B中的处理与以上相同。
根据最大流=最小割，我们只要在建好的图上跑一遍最大流，并用所有的值减去求出的最小割（最少的取不到的价值），就能求出答案