MIT 18.06 linear algebra 第二十讲笔记

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本文详细介绍了二阶矩阵的逆矩阵计算方法，并基于此推导了任意阶方阵的逆矩阵公式。同时，文章还探讨了矩阵乘积与行列式的关系，以及如何利用克莱姆法则求解线性方程组。

MIT 18.06 linear algebra 第二十讲笔记

第二十课课程笔记：

Formula for $A^{-1}$
Cramers Rule for $x=A^{-1}b$
|Det A| = volume of box

二阶矩阵的逆矩阵为： $\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}$ ,其中 $-b$ 为 $c$ 的代数余子式。

从上面的二阶矩阵逆的公式我们可以推测： $A^{-1}=\frac{1}{detA}\begin{bmatrix}C^{T}\end{bmatrix}$ ，其中 $C$ 为矩阵 $A$ 的代数余子式组成的矩阵。 $C^{T}$ 一般被称为伴随矩阵。

下面证明下： $AC^{T}=(det A)I$

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ a 11 a 21 ⋮ a n 1 a 12 a 22 ⋮ a n 2 \dots \dots ⋱ \dots a 1 n a 2 n ⋮ a n n ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ C 11 C 12 ⋮ C 1 n C 21 C 22 ⋮ C 2 n \dots \dots ⋱ \dots C n 1 C n 2 ⋮ C n n ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ d e t A 0 ⋮ 0 0 d e t A ⋮ 0 \dots \dots ⋱ \dots 00 ⋮ d e t A ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = (d e t A) I (1)

$\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} C_{11}&C_{21}&\cdots&C_{n1}\\ C_{12}&C_{22}&\cdots&C_{n2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ C_{1n}&C_{2n}&\cdots&C_{nn}\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} detA&0&\cdots&0\\ 0&detA&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&detA\\ \end{bmatrix}=(detA)I\tag{1}$

克莱姆法则(CRAMER’s RULE)

如果矩阵 $A$ 可逆 $Ax=b$ ， $x=A^{-1}b=\frac{1}{detA}C^{T}b$ , $x$ 中的分量如 $x_1=\frac{C_{1}^{T}b}{detA}=\frac{B_1}{detA}$ ，其中 $C_{1}^{T}$ 表示 $C^{T}$ 的第一行。

下面将 $C^Tb$ 矩阵展示出来：

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ C 11 C 12 ⋮ C 1 n C 21 C 22 ⋮ C 2 n \dots \dots ⋱ \dots C n 1 C n 2 ⋮ C n n ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ b 1 b 2 ⋮ b n ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ (2)

$\begin{bmatrix} C_{11}&C_{21}&\cdots&C_{n1}\\ C_{12}&C_{22}&\cdots&C_{n2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ C_{1n}&C_{2n}&\cdots&C_{nn}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1\\b_2\\\vdots\\b_n \end{bmatrix}\tag{2}$

由上面的公式(2)可知， $C_1^{T}b=C_{11}b_1+C_{21}b2+\cdots+C_{n1}b_n$ 。在前面的课程中我们学到了关于代数余子式的公式 $detA=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+\cdots+a_{in}C_{in}$ 。因为 $C_{11},C_{21},\cdots,C_{n1}$ 对应于矩阵 $A$ 中第一列的代数余子式。如果我们将矩阵 $A$ 按照第一列拆解就是 $a_{11}C{11}+a_{21}C_{21}+\cdots+a_{n1}C{n1}$ 。因此我们可以看出 $C_1^{T}b$ 其实就是矩阵 $A$ 中第一列被换为 $b$ 后的行列式的值。 $B_1=\begin{bmatrix}b&|&n-1 \quad columns \quad of \quad A\end{bmatrix}$ 。进而得出 $B_j$ 就是矩阵 $A$ 的第 $j$ 列被置换为 $b$ 。 $x_j=\frac{detB_j}{detA}$

$|det A|=$ volume of box

这里写图片描述

如果 $A$ 是单位阵，很容易理解矩阵中三个向量构成的box的体积就等于行列式的值1。如果 $A=Q$ 单位正交矩阵，那么就相当于将box，绕原点旋转，因此体积依旧等于行列式的值1( $det(Q^T)det(Q)=1$ )。

如果是长方形的box,那么 $\begin{bmatrix}a+a^{\dagger}&b+b^{\dagger}\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}a^{\dagger}&b^{\dagger}\\c&d\end{bmatrix}$ 。长方形的box可以切成几个cube。然后按照立方体的计算方法计算。