MIT 18.06 linear algebra 第二十讲笔记
第二十课课程笔记:
- Formula for A−1A−1
- Cramers Rule for x=A−1bx=A−1b
- |Det A| = volume of box
二阶矩阵的逆矩阵为:[acbd]−1=1ad−bc[d−c−ba][abcd]−1=1ad−bc[d−b−ca],其中−b−b为cc的代数余子式。
从上面的二阶矩阵逆的公式我们可以推测:,其中CC为矩阵的代数余子式组成的矩阵。CTCT一般被称为伴随矩阵。
下面证明下:ACT=(detA)IACT=(detA)I
克莱姆法则(CRAMER’s RULE)
如果矩阵AA可逆,x=A−1b=1detACTbx=A−1b=1detACTb,xx中的分量如,其中CT1C1T表示CTCT的第一行。
下面将CTbCTb矩阵展示出来:
由上面的公式(2)可知,CT1b=C11b1+C21b2+⋯+Cn1bnC1Tb=C11b1+C21b2+⋯+Cn1bn。在前面的课程中我们学到了关于代数余子式的公式detA=ai1Ci1+ai2Ci2+⋯+ainCindetA=ai1Ci1+ai2Ci2+⋯+ainCin。因为C11,C21,⋯,Cn1C11,C21,⋯,Cn1对应于矩阵AA中第一列的代数余子式。如果我们将矩阵按照第一列拆解就是a11C11+a21C21+⋯+an1Cn1a11C11+a21C21+⋯+an1Cn1。因此我们可以看出CT1bC1Tb其实就是矩阵AA中第一列被换为后的行列式的值。B1=[b|n−1columnsofA]B1=[b|n−1columnsofA]。进而得出BjBj就是矩阵AA的第列被置换为bb。
|detA|=|detA|=volume of box
如果AA是单位阵,很容易理解矩阵中三个向量构成的box的体积就等于行列式的值1。如果单位正交矩阵,那么就相当于将box,绕原点旋转,因此体积依旧等于行列式的值1(det(QT)det(Q)=1det(QT)det(Q)=1)。
如果是长方形的box,那么[a+a†cb+b†d]=[acbd]+[a†cb†d][a+a†b+b†cd]=[abcd]+[a†b†cd]。长方形的box可以切成几个cube。然后按照立方体的计算方法计算。
如果是六面体的话,底面积为detA=ad−bcdetA=ad−bc。相应的三角形的面积为ad−bc2ad−bc2
如果任意给定一个三角形,三个顶点的坐标时,它的面积等于12∣∣∣∣x1x2x3y1y2y3000∣∣∣∣12|x1y10x2y20x3y30|。