MIT 18.06 linear algebra 第二十讲笔记

本文详细介绍了二阶矩阵的逆矩阵计算方法,并基于此推导了任意阶方阵的逆矩阵公式。同时,文章还探讨了矩阵乘积与行列式的关系,以及如何利用克莱姆法则求解线性方程组。

MIT 18.06 linear algebra 第二十讲笔记


第二十课课程笔记:

  • Formula for A1A−1
  • Cramers Rule for x=A1bx=A−1b
  • |Det A| = volume of box

二阶矩阵的逆矩阵为:[acbd]1=1adbc[dcba][abcd]−1=1ad−bc[d−b−ca],其中b−bcc的代数余子式。

从上面的二阶矩阵逆的公式我们可以推测:A1=1detA[CT],其中CC为矩阵A的代数余子式组成的矩阵。CTCT一般被称为伴随矩阵。

下面证明下:ACT=(detA)IACT=(detA)I

a11a21an1a12a22an2a1na2nannC11C12C1nC21C22C2nCn1Cn2Cnn=detA000detA000detA=(detA)I(1)(1)[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann][C11C21⋯Cn1C12C22⋯Cn2⋮⋮⋱⋮C1nC2n⋯Cnn]=[detA0⋯00detA⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯detA]=(detA)I

克莱姆法则(CRAMER’s RULE)

如果矩阵AA可逆Ax=bx=A1b=1detACTbx=A−1b=1detACTb,xx中的分量如x1=C1TbdetA=B1detA,其中CT1C1T表示CTCT的第一行。

下面将CTbCTb矩阵展示出来:

C11C12C1nC21C22C2nCn1Cn2Cnnb1b2bn(2)(2)[C11C21⋯Cn1C12C22⋯Cn2⋮⋮⋱⋮C1nC2n⋯Cnn][b1b2⋮bn]

由上面的公式(2)可知,CT1b=C11b1+C21b2++Cn1bnC1Tb=C11b1+C21b2+⋯+Cn1bn。在前面的课程中我们学到了关于代数余子式的公式detA=ai1Ci1+ai2Ci2++ainCindetA=ai1Ci1+ai2Ci2+⋯+ainCin。因为C11,C21,,Cn1C11,C21,⋯,Cn1对应于矩阵AA中第一列的代数余子式。如果我们将矩阵A按照第一列拆解就是a11C11+a21C21++an1Cn1a11C11+a21C21+⋯+an1Cn1。因此我们可以看出CT1bC1Tb其实就是矩阵AA中第一列被换为b后的行列式的值。B1=[b|n1columnsofA]B1=[b|n−1columnsofA]。进而得出BjBj就是矩阵AA的第j列被置换为bbxj=detBjdetA


|detA|=|detA|=volume of box

这里写图片描述

如果AA是单位阵,很容易理解矩阵中三个向量构成的box的体积就等于行列式的值1。如果A=Q单位正交矩阵,那么就相当于将box,绕原点旋转,因此体积依旧等于行列式的值1(det(QT)det(Q)=1det(QT)det(Q)=1)。

如果是长方形的box,那么[a+acb+bd]=[acbd]+[acbd][a+a†b+b†cd]=[abcd]+[a†b†cd]。长方形的box可以切成几个cube。然后按照立方体的计算方法计算。

这里写图片描述

如果是六面体的话,底面积为detA=adbcdetA=ad−bc。相应的三角形的面积为adbc2ad−bc2
这里写图片描述

如果任意给定一个三角形,三个顶点的坐标时,它的面积等于12x1x2x3y1y2y300012|x1y10x2y20x3y30|

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