MIT 18.06 linear algebra 第二十四讲笔记
第二十四讲课程要点:
- Markov matrices
- Steady State
- Fourier Series & Projections
A=⎡⎣⎢0.10.20.70.010.9900.30.30.4⎤⎦⎥A=[0.10.010.30.20.990.30.700.4],这个矩阵就是马尔科夫矩阵。
马尔科夫矩阵的性质:
- 矩阵中的每个元素大于等于0,即aij≥0aij≥0。
- 马尔科夫矩阵中每一列的各个元素相加之和为1。
- 马尔科夫矩阵的幂依旧是马尔科夫矩阵。
- 马尔科夫矩阵必定有一个特征值为1。即λi=1λi=1。
λ=1λ=1是矩阵的一个特征值。其对应的特征向量中的元素是大于等于0的。其它的特征值的绝对值小于1。即λi<1λi<1。
前面有公式Uk=AkU0=C1λk1x1+C2λk2x2+⋯+CnλknxnUk=AkU0=C1λ1kx1+C2λ2kx2+⋯+Cnλnkxn。假设上式中λ1=1λ1=1,其它的λ<0λ<0。当k→∞k→∞时,Uk≈C1x1Uk≈C1x1。
A−I=⎡⎣⎢−0.90.20.70.01−0