MIT 18.06 linear algebra 第二十四讲笔记

本文是MIT 18.06线性代数课程的第24讲笔记,主要讲解了马尔科夫矩阵的性质,包括其特征值、幂运算及应用;讨论了马尔科夫矩阵在人口迁移问题中的应用;介绍了标准正交基的投影概念;最后探讨了傅里叶级数及其与标准正交基的相似性。

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MIT 18.06 linear algebra 第二十四讲笔记


第二十四讲课程要点:

  • Markov matrices
  • Steady State
  • Fourier Series & Projections

A=0.10.20.70.010.9900.30.30.4A=[0.10.010.30.20.990.30.700.4],这个矩阵就是马尔科夫矩阵。

马尔科夫矩阵的性质:

  1. 矩阵中的每个元素大于等于0,即aij0aij≥0
  2. 马尔科夫矩阵中每一列的各个元素相加之和为1。
  3. 马尔科夫矩阵的幂依旧是马尔科夫矩阵。
  4. 马尔科夫矩阵必定有一个特征值为1。即λi=1λi=1

λ=1λ=1是矩阵的一个特征值。其对应的特征向量中的元素是大于等于0的。其它的特征值的绝对值小于1。即λi<1λi<1

前面有公式Uk=AkU0=C1λk1x1+C2λk2x2++CnλknxnUk=AkU0=C1λ1kx1+C2λ2kx2+⋯+Cnλnkxn。假设上式中λ1=1λ1=1,其它的λ<0λ<0。当kk→∞时,UkC1x1Uk≈C1x1

AI=0.90.20.70.010

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