MIT 18.06 linear algebra 第二十四讲笔记

MIT 18.06 linear algebra 第二十四讲笔记

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第二十四讲课程要点：

• Markov matrices
• Steady State
• Fourier Series & Projections

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$A= \begin{bmatrix} 0.1&0.01&0.3\\0.2&0.99&0.3\\0.7&0&0.4 \end{bmatrix}$，这个矩阵就是马尔科夫矩阵。

马尔科夫矩阵的性质：

1. 矩阵中的每个元素大于等于0，即$a_{ij}\geq 0$。
2. 马尔科夫矩阵中每一列的各个元素相加之和为1。
3. 马尔科夫矩阵的幂依旧是马尔科夫矩阵。
4. 马尔科夫矩阵必定有一个特征值为1。即$\lambda_i=1$。

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$\lambda=1$是矩阵的一个特征值。其对应的特征向量中的元素是大于等于0的。其它的特征值的绝对值小于1。即$\lambda_i<1$。

前面有公式$U_k=A^kU_0=C_1\lambda_1^kx_1+C_2\lambda_2^kx_2+\cdots+C_n\lambda_n^kx_n$。假设上式中$\lambda_1=1$,其它的$\lambda<0$。当$k\rightarrow\infty$时，$U_k\approx C_1x_1$。

A−I=⎡⎣⎢−0.90.20.70.01−0