MIT 18.06 linear algebra 第十九讲笔记

MIT 18.06 linear algebra 第十九讲笔记

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第十九课课程要点

• Formula for det A（n! terms）
• Cofactor formula
• Tridiagonal Matrix

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求解行列式的方法：以二阶行列式为例

$$\left|\begin{array}{cc} a&b\\c&d \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc} a&0\\c&d \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc} 0&b\\c&d \end{array}\right| +\left|\begin{array}{cccc} a&0\\c&0 \end{array}\right| +\left|\begin{array}{cccc} d&0\\d&0 \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc} 0&b\\c&0\\ \end{array}\right| +\left|\begin{array}{cccc} 0&b\\0&d \end{array}\right|=ad-bc \tag{1}$$
这种求解方法主要是用了前面学到的关于行列式的性质。从上面的式子中我们可以看出，全零行的行列式为0，因此将一个$n\times n$的行列式将其按上面方法进行拆解，可以拆出$n^n$个。但是只有每行每列都有数字存在的行列式才对结果又影响。

下面是对于三阶行列式：

$$\left|\begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ \end{array}\right| = \left|\begin{array}{cccc} a_{11}&0&0\\ 0&a_{22}&0\\ 0&0&a_{33}\\ \end{array}\right| + \left|\begin{array}{cccc} a_{11}&0&0\\ 0&0&a_{23}\\ 0&a_{32}&0\\ \end{array}\right| + \left|\begin{array}{cccc} 0&a_{12}&0\\ a_{21}&0&0\\ 0&0&a_{33}\\ \end{array}\right| +$$

$$\left|\begin{array}{cccc} 0&a_{12}&0\\ 0&0&a_{23}\\ a_{31}&0&0\\ \end{array}\right| + \left|\begin{array}{cccc} 0&0&a_{13}\\ a_{21}&0&0\\ 0&a_{32}&0\\ \end{array}\right| + \left|\begin{array}{cccc} 0&0&a_{13}\\ 0&a_{22}&0\\ a_{31}&0&0\\ \end{array}\right|=$$
$$a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}\tag{3}$$

从上面的推导中我们可以得出，当我们把一个n阶行列式拆成$n^n$个时，只有含有非零行（列）的行列式不为0。因此$detA=\sum\pm a_{1\alpha}a_{a\beta}......a_{n\omega}$,其中$\alpha,\beta,......\omega$是$1,2,--n$的一种排序。这种项数一共有$n!$项。因为第一行有n种选择，选定了第一行后，第二行就只有n-1中选择，以此类推。得出一共有$n!$项。

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代数余子式
上面的三阶行列式可以把$a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}$写为$a_{11}(a_{22}a_{33}-a{23}a_{32})+a_{12}(-a_{21}a_{33}+a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$。

$$\left|\begin{array}{cccc} a_{11}&0&0\\ 0&a_{22}&a_{23}\\ 0&a_{32}&a_{33}\\ \end{array}\right| + \left|\begin{array}{cccc} 0&a_{12}&0\\ a_{21}&0&a_{23}\\ a_{31}&0&a_{33}\\ \end{array}\right| +\left|\begin{array}{cccc} 0&0&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&0\\ a_{31}&a_{32}&0\\ \end{array}\right|$$

$a_{ij}$代数余子式就是上面公式里面所有含$a_{ij}$的项之和。等于原行列式除$a_{ij}$所在行和所在列组成的行列式。代数余子式之所以有“代数”二字是因为它的符号，代数余子式的符号与它是谁的代数余子式有关。例如$a_{11}$的代数余子式就是正的，因为其下标之和为偶数。$a_{12}$的代数余子式为负数因为其下标之和为奇数。上面如$\left|\begin{array}{cc}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{array}\right|$就是余子式。
代数余子式的公式：$detA=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}$

例子：

$$\begin{bmatrix} 1&1&0&0\\1&1&1&0\\0&1&1&1\\0&0&1&1 \end{bmatrix}$$
其中$|A_1|=1$,$|A_2|=0$,$|A_3|=-1$,我们可以进而得到$|A_4|=|A_3|-|A_2|$。根据这个规律我们可以的出这类行列式的规则为$|A_n|=|A_{n-1}|-|A_{n-2}|$