MIT 18.06 linear algebra 第二十一讲笔记

MIT 18.06 linear algebra 第二十一讲笔记

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第二十一课课程要点

• Eigenvalue、Eigenvector
• $det[A-\lambda I]=0$
• $TRACE=\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}+\cdots+\lambda_{n}$

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矩阵$A$特征向量$x$可以使得$Ax$平行于$x$。即$Ax=\lambda x$。（注：这里讨论的矩阵都为方阵）。

如果$A$为奇异矩阵，那么0是一个特征值。

下面讨论下，关于投影矩阵的特征值与特征向量。任意向量$x$如果在投影的平面中，那么$Px=x,\lambda=1$，其中$P$为投影矩阵。任意$x$垂直于平面，那么它投影到平面上时$Px=0,\lambda=0$

接下来看一下置换矩阵：
$\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$，这个矩阵的特征值为$\lambda_1=1,\lambda_2=-1$
，特征向量为$x_1=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$和$x_2=\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}$。

关于矩阵的特征值有一些重要的性质：

• $n\times n$的矩阵有$n$个特征值。
• 特征值的和等于矩阵的迹(即，对主角线元素之和)。
• 特征值的积等于行列式的值

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怎么解决$Ax=\lambda x$，可以通过$(A-\lambda I)x=0$来求解。如果有非零的$x$向量存在，这说明$A-\lambda x$是一个奇异矩阵。

称$det(A-\lambda I)=0$为特征方程。我可通过这个方程求出相应的特征值。例如$\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}$，$det(A-\lambda I)=\left|\begin{array}{cc}3-\lambda&1\\1&3-\lambda\end{array}\right|$。可以求出$\lambda_1=2,\lambda_2=4$,将其特征值代入后我们就可以求出相应的特征向量为$x_1=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$和$x_2=\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}$。就此可以看出特征值此处的矩阵$A$和前面的矩阵$\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$只是加了$3I$而已。两个矩阵的特征值差了3。但是特征向量并没有变。

如果一个矩阵满足$Ax=\lambda x$，那么$(A+3I)x=\lambda x+3x=(\lambda +3)x$。这就是上面特征值加了3的原因。

一般而言，$A+B$或者$AB$的特征值并不等于$A$的特征值加上$B$的特征值，或$AB$特征值的乘积。

接下来看一下$\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$，这个矩阵的行列式的值为1，迹为0，因此可以知道特征值$\lambda_1=-i,\lambda_2=i$。这里的特征是为复数。

一般而言，如果矩阵是对称的，那么矩阵的特征值是实数，如果矩阵月不对称，那么矩阵的特征值就越有可能是复数。

反对称矩阵的矩阵的特征值为纯虚数（注：反对称阵：$Q^T=-Q$，$\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$就是反对称阵）。

在看一下上三角矩阵$\begin{bmatrix}3&1\\0&3\end{bmatrix}$,其中$\lambda_1+\lambda_2=6$,$\lambda_1\times\lambda_2=9$,因此可以解出$\lambda_1$和$\lambda_2$都等于3。将解出来的$\lambda$代入$det(A-\lambda I)=\left|\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right|$。解得$x=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$。这个矩阵的两个特征向量是相同的。因此找不到第二个与第一个无关的特征向量。因此我们又称这种矩阵为退化矩阵。这个矩阵只有在一个方向上的特征向量，而非两个。对于这种对角阵，特征值就在对角线上。