MIT 18.06 linear algebra 第六课笔记

MIT 18.06 linear algebra 第六课笔记

---

第六课要点如下：

• vector spaces and subspace
• column space of A : solving Ax=b
• Nullspace of A

---

向量空间要满足对向量加法和向量数乘封闭。即$v+w$和$cv$均是在这个空间内的（线性运算的结果在这个空间内）。
假设有两个子空间$P$和$L$，那么$P$和$L$的并集是一个向量空间吗？答案是否定的。那它们的交集是一个向量空间吗？答案是一个向量空间。简单证明：取$P$和$L$交集内的两个向量$w$和$v$。$w+v$肯定是既属于$P$又属于$L$的，那么$w+v$肯定是属于$P$和$L$交集的。对交集的任意一个向量乘以若干倍，那么这个倍乘后的向量肯定是既属于$P$又属于$L$的，那么同样也就是属于$P$又属于$L$交集的，上面证明了该交集既对向量加法封闭也对数乘封闭。

---

$$Ax= \begin{bmatrix} 1&1&2\\ 2&1&3\\ 3&1&4\\ 4&1&5\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3\\ b_4\\ \end{bmatrix}\tag{1}$$
上式(1)中b为何值时候x有解？用我们前面学到的列空间来理解的话，当b属于矩阵A的列空间时有解。
假设上式(1)中的b为0向量，那么解x构成了一个向量空间，我们称之为零空间(Nullspace)。简单证明为何会构成子空间：如果$Av=0$并且$Aw=0$那么$A(v+w)=0$,且$A(12v)=0$，也就证明了$Ax=0$的解是对向量加法和数乘都是封闭的，因此构成一个向量空间。
那么：
$$\begin{bmatrix} 1&1&2\\ 2&1&3\\ 3&1&4\\ 4&1&5\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1\\2\\3\\4 \end{bmatrix}\tag{2}$$
式(2)的解构成一个向量空间吗，代入$\begin{bmatrix} 0\\0\\0 \end{bmatrix}$是不满足的，那么一个向量的结合中不包含0向量，它必定不能构成一个向量空间。