MIT 18.06 linear algebra 第十八讲笔记

MIT 18.06 linear algebra 第十八讲笔记

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第十八课课程要点：

• Determinant $detA=|A|$
• Properties 1-10

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课程首先介绍了关于行列式的十大性质：

• ① $detI=1$

• ②交换一个行列式的两行，行列式的值会变号。如置换矩阵$detP=1 or -1$。

• ③a性质：$\left|\begin{array}{cc} ta&tb\\c&d\end{array}\right|$=$t\left|\begin{array}{cc} a&b\\c&d\end{array}\right|$

• ③b性质：
  $\left|\begin{array}{cc} a+a&b+b\\c&d\end{array}\right|$=$\left|\begin{array}{cc} a&b\\c&d\end{array}\right|$+$\left|\begin{array}{cc} a&b\\c&d\end{array}\right|$

• ④如果一个行列式中的两行相等，可以得出$det=0$。这个结论很容易证明，如果交换两行，那么按照性质②，行列式的值应当改变符号，这里是没有改变，那么只有一种可能，行列式的值为0。

• ⑤某一行减去另一行的若干倍，行列式的值不变。这里证明也很简单：
  $\left|\begin{array}{cc} a&b\\c-la&d-lb\end{array}\right|$=$\left|\begin{array}{cc} a&b\\c&d\end{array}\right|$+$\left|\begin{array}{cc} a&b\\-la&-lb\end{array}\right|$

• ⑥存在全零行的行列式值为0
• ⑦ $detU=\left|\begin{array}{cccc} d_1&*&*&*\\0&d_2&*&*\\0&0&d_3&*\\0&0&0&d_4\end{array}\right|$=$d_1d_2d_3d_4$,这里的4只是一个例子，对n也成立。

• ⑧当矩阵为奇异阵时，行列式为0，而如果矩阵为非奇异阵时，行列式不为0。当矩阵不可逆的时候，通过消元法，上三角矩阵$U$进一步可以化为对角阵$D$。进而行列式等于$d_1d_2d-3......d_n$。行列式其实就是主元的乘积。

• ⑨ $detAB=detAdetB$，$det2A=2^ndetA$

• ⑩ $det(A^T)$=$detA$,这个定理告诉我们在行列式中，行和列是等价的，因此上面对行成立的性质对列同样适用。简单证明下这个性质：
  $|A^T|$=|A|，相当于$|U^TL^T|=|LU|$进而$|U^T||L^T|=|L||U|$。因为$L$为下三角矩阵，$U$为上三角矩阵，因此，$|U^T|=|U|$,$||^T|=|L|$。反推回去，进而性质成立。