初等数论 2.5 简化剩余系

最新推荐文章于 2024-09-15 00:29:29 发布

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分类专栏：初等数论

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本文介绍了模m的简化剩余类和简化剩余系的概念，包括Euler函数ϕ(m)的定义，以及与模m互素的剩余类的性质。文中还探讨了简化剩余系的性质和构建，例如模m的简化剩余系的充要条件，以及它们如何在模乘法下保持不变。此外，阐述了Euler函数的性质，包括基本定理和推论，如ϕ(m1m2)=ϕ(m1)ϕ(m2)，以及与素数和素因数分解的关系。最后，提到了著名的Wilson定理和Euler定理，这些都是数论中的重要定理。

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定义：设 $C$ 是模 $m$ 的一个剩余类，若 $∃a∈C\exists a\in C$ ，使得 $(a, m) = 1$ ，则称 $C$ 是模 $m$ 的一个简化剩余类（reduced residue class）.

若 $C$ 是 $m$ 的一个简化剩余类，则 $C$ 中每个数都与 $m$ 互素.

定义：对于给定的 $m∈Z+m\in\Z^+$ ，称与 $m$ 互素的剩余类的个数为Euler函数，记为 $ϕ(m)\phi(m)$ .

若 $p$ 为素数，则 $ϕ(p)=p−1\phi(p)=p-1$ .

定义：设 $m∈Z+m\in\Z^+$ ，从 $ϕ(m)\phi(m)$ 个与 $m$ 互素的简化剩余类中各取一个数 $xi(i=1,⋯ ,m)x_i(i=1,\cdots,m)$ ，构成一个集合 $x1,x2,⋯ ,xϕ(m)}\displaystyle \{x_1,x_2,\cdots,x_{\phi(m)}\}$ ，称为模 $m$ 的一个简化剩余系（既约剩余系）.

$ϕ(m)\phi(m)$ 即为不超过 $m$ 且与 $m$ 互素的正整数个数.

对应地，可以得到模 $m$ 的最小非负简化剩余系，最小正简化剩余系，绝对最小简化剩余系.
定理： $k$ 个整数 $a1,a2,⋯ ,aka_1,a_2,\cdots,a_k$ 构成模 $m$ 的一个简化剩余系的充要条件：
1. $k=ϕ(m)k=\phi(m)$
2. $ai̸≡aj(modm)i≠ja_i\not\equiv a_j\pmod m \quad i\neq j$