高等代数 线性空间

#这是笔记,用来存档,没有自己的想法,也许内容还很trivial
VVV是一个数域F\Bbb{F}F上的非空集合,并且有映射:+:V×V→V+:V \times V \rightarrow V+:V×VV∘:F×V→V\circ:\Bbb{F} \times V \rightarrow V:F×VV满足条件:
1.∀α,β,γ∈V(α+β)+γ=α+(β+γ)\forall \alpha,\beta,\gamma \in V \quad (\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)α,β,γV(α+β)+γ=α+(β+γ)
2.∃0∈V0+α=α+0=α\exists 0\in V \quad 0+\alpha=\alpha+0=\alpha0V0+α=α+0=α
3.∀α∈V,∃β∈Vα+β=β+α=0\forall \alpha\in V,\exists\beta\in V \quad \alpha+\beta=\beta+\alpha=0αV,βVα+β=β+α=0
4.α+β=β+α\alpha+\beta=\beta+\alphaα+β=β+α
5.∃1∈F1∘α=α\exists 1\in\Bbb{F} \quad 1\circ\alpha=\alpha1F1α=α
6.a,b∈F(a⋅b)∘α=a∘(b∘α)a,b\in\Bbb{F} \quad (a\cdot b)\circ\alpha=a\circ(b\circ\alpha)a,bF(ab)α=a(bα)
7.a∘(α+β)=a∘α+a∘βa\circ(\alpha+\beta)=a\circ\alpha+a\circ\betaa(α+β)=aα+aβ
8.(a+b)∘α=a∘α+b∘α(a+b)\circ\alpha=a\circ\alpha+b\circ\alpha(a+b)α=aα+bα
则称(V,+,∘V,+,\circV,+,)构成数域F\Bbb{F}F上的线性空间,称VVV中的元素为向量.
注.对于二元运算+++,满足性质123,(V,+V,+V,+)是群,且满足性质4,构成交换群.
思考:V=CV=\ComplexV=C,映射+:V×V→V,(α,β)↦α+β+:V \times V \rightarrow V,(\alpha,\beta)↦\alpha+\beta+:V×VV,(α,β)α+β∘:C×V→V,(k,α)↦k‾α\circ:\Complex\times V \rightarrow V,(k,\alpha)↦\overline{k}\alpha:C×VV,(k,α)kα,验证(V,+,∘V,+,\circV,+,)是否构成线性空间.
命题:设(V,+,∘V,+,\circV,+,)是数域F\Bbb{F}F上的线性空间,则:
1.VVV中的零向量是唯一的.
2.VVV中向量的负向量是唯一的.
3.k∘α=0↔k=0k\circ\alpha=0\leftrightarrow k=0kα=0k=0α=0\alpha=0α=0
4.−(k∘α)=(−k)∘α-(k\circ\alpha)=(-k)\circ\alpha(kα)=(k)α,其中−(k∘α)-(k\circ\alpha)(kα)(k∘α)(k\circ\alpha)(kα)的负向量.
思考:由线性空间的性质1235678推出性质4.
定义:设VVV是数域F\Bbb{F}F上的线性空间,设α1,α2,⋯ ,αm∈V,k1,k2,⋯ ,km∈F\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\in V,k_1,k_2,\cdots,k_m\in\Bbb{F}α1,α2,,αmV,k1,k2,,kmF,称∑i=1mkiαi\displaystyle\sum_{i=1}^{m}k_i\alpha_ii=1mkiαi为向量α1,α2,⋯ ,αm\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_mα1,α2,,αm的线性组合.
定义:称向量α1,α2,⋯ ,αm\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_mα1,α2,,αm的线性相关,若存在不全为000的数k1,k2,⋯ ,km∈Fk_1,k_2,\cdots,k_m\in\Bbb{F}k1,k2,,kmF,使得∑i=1mkiαi=0\displaystyle\sum_{i=1}^{m}k_i\alpha_i=0i=1mkiαi=0.否则称向量组α1,α2,⋯ ,αm\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_mα1,α2,,αm的线性无关.
注.1.α∈V\alpha\in VαV线性相关↔α=0\leftrightarrow\alpha=0α=0.
2.向量组整体线性无关→\rightarrow部分线性无关;部分线性相关→\rightarrow整体线性相关.
线性空间可以引入维数的概念,注意到并不是所有线性空间都是有限维的,比如(F[x],+,⋅\Bbb{F}[x],+,\cdotF[x],+,)是无穷维的.

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