本文探讨了线性Diophantine方程的解的存在条件及其转化方法，特别关注了二元一次不定方程的通解公式。此外，文章还介绍了勾股数的概念，包括平凡解与非平凡解，以及本原解的特性。通过定理和推论，展示了如何寻找特定形式的本原解，并提供了几个相关的数论练习题。
定义：设a1,a2,⋯ ,an,c∈Za_1,a_2,\cdots,a_n,c\in\Za1,a2,⋯,an,c∈Z，且a1a2⋯an≠0a_1a_2\cdots a_n\neq0a1a2⋯an̸=0，关于未知数x1,x2,⋯ ,xn∈Zx_1,x_2,\cdots,x_n\in\Zx1,x2,⋯,xn∈Z的方程a1x1+a2x2+⋯+anxn=ca_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=ca1x1+a2x2+⋯+anxn=c称为n元一次不定方程.若∃x0′,x1′,⋯ ,xn′\exists x_0^{\prime},x_1^{\prime},\cdots ,x_n^{\prime}∃x0′,x1′,⋯,xn′满足方程，则称有序数组(x0′,x1′,⋯ ,xn′)(x_0^{\prime},x_1^{\prime},\cdots ,x_n^{\prime})(x0′,x1′,⋯,xn′)是不定方程的解.
定理：不定方程a1x1+a2x2+⋯+anxn=ca_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=ca1x1+a2x2+⋯+anxn=c有解当且仅当(a1,a2,⋯ ,an)∣c(a_1,a_2,\cdots,a_n)\mid c(a
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