一些特殊的矩阵

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分类专栏：线性代数-基础文章标签：数学

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一些矩阵的结构或其中的元素比较特殊，这些矩阵有一些特殊的性质.

零矩阵：内部元素全部为0，一般用 ${ O }_{ m\times n }$ 表示
方阵：对于行数和列数相等的矩阵 $A = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ a 11 a 21 ⋮ a n 1 a 12 a 22 ⋮ a n 2 \dots \dots \dots a 1 n a 2 n ⋮ a n n ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥$ $A=\left[ \begin{matrix} { a }_{ 11 } & { a }_{ 12 } & \cdots & { a }_{ 1n } \\ { a }_{ 21 } & { a }_{ 22 } & \cdots & { a }_{ 2n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ { a }_{ n1 } & { a }_{ n2 } & \cdots & { a }_{ nn } \end{matrix} \right]$ 则称A为n阶方阵.
对角矩阵：方阵A中的元素 ${ a }_{ ij }=0\left( i\neq j \right)$ 时，A是一个对角矩阵.

$A = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ a 11 0 a 22 ⋱ 0 a n n ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥$ $A=\left[ \begin{matrix} { a }_{ 11 } & & & 0 \\ & { a }_{ 22 } & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & { a }_{ nn } \end{matrix} \right]$

注意：主对角线上的元素 ${ a }_{ ii }$ 值可以为0.
单位矩阵：对角矩阵A的元素 ${ a }_{ ii }=1$ 时，A称为n阶单位矩阵，记做 ${ E }_{ n }$ 或 ${ I }_{ n }$ .

$A = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 101 ⋱ 01 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ n \times n$ $A={ \left[ \begin{matrix} 1 & & & 0 \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & 1 \end{matrix} \right] }_{ n\times n }$
上/下三角形矩阵：主对角线以下/上元素全为0的矩阵.
$A = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ a 11 0 a 12 a 22 \dots \dots ⋱ a 1 n a 2 n ⋮ a n n ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥, B = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ b 11 b 21 ⋮ b n 1 b 22 b n 2 ⋱ \dots 0 b n n ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥$ $A=\left[ \begin{matrix} { a }_{ 11 } & { a }_{ 12 } & \cdots & { a }_{ 1n } \\ & { a }_{ 22 } & \cdots & { a }_{ 2n } \\ & & \ddots & \vdots \\ 0 & & & { a }_{ nn } \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} { b }_{ 11 } & & & 0 \\ { b }_{ 21 } & { b }_{ 22 } & & \\ \vdots & & \ddots & \\ { b }_{ n1 } & { b }_{ n2 } & \cdots & { b }_{ nn } \end{matrix} \right]$
行/列矩阵：矩阵中只有一行/一列元素的矩阵.
$A = [a 1 a 2 \dots a n] 1 \times n B = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ b 1 b 2 ⋮ b m ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ m \times 1$ $A={ \begin{bmatrix} { a }_{ 1 } & { a }_{ 2 } & \cdots & { a }_{ n } \end{bmatrix} }_{ 1\times n }\quad \quad B={ \begin{bmatrix} { b }_{ 1 } \\ { b }_{ 2 } \\ \vdots \\ { b }_{ m } \end{bmatrix} }_{ m\times 1 }$