初等数论 2.6 同余方程(2)

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本文探讨了数论中的两个重要定理：费马小定理和中国剩余定理。费马小定理阐述了素数与任意正整数之间的幂次关系，而中国剩余定理提供了解决特定线性同余方程组的有效方法。

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定理：Fermat小定理：设 $p$ 是素数，若 $a∈Z+，p∤aa\in\Z^+，p\nmid a$ 则 $ap−1≡1(modp)a^{p-1}\equiv 1\pmod p$ .
定理：设 $p$ 是素数， $a∈Z+a\in\Z^+$ ，则 $ap≡a(modp)a^p\equiv a\pmod p$ .
推论：若 $p$ 是素数， $a∈Z，p∤aa\in\Z，p\nmid a$ ，则 $a^{p-2}$ 是 $a$ 模 $p$ 的逆.
推论：设 $a,b∈Z+a,b\in\Z^+$ ， $p$ 是素数， $p∤ap\nmid a$ ，则线性同余方程 $ax≡b∤pax\equiv b\nmid p$ 的解是满足方程 $x≡ap−2b(modp)x\equiv a^{p-2}b\pmod p$ 的整数 $x$ .
定理：（中国剩余定理）：设 $m1,m2,⋯ ,mn∈Z+m_1,m_2,\cdots,m_n\in\Z^+$ ，且 $(mi,mj)=11≤i,j≤ni≠j(m_i,m_j)=1 \quad 1\le i,j \le n \quad i\neq j$ ，则同余方程 $x≡a1(modm1)x≡a2(modm2)⋮x≡ar(modmr)x\equiv a_1\pmod {m_1} \\ x\equiv a_2\pmod {m_2} \\ \vdots \\ x\equiv a_r\pmod {m_r}$ 的解是 $x≡∑i=1naiMiMi′(modM)\displaystyle x\equiv\sum_{i=1}^{n}{a_iM_iM'_i}\pmod M$ 其中 $M=[m1,m2,⋯ ,mn]=m1m2⋯mn,Mi=Mmi(1≤i≤n),Mi′M=[m_1,m_2,\cdots,m_n]=m_1m_2\cdots m_n,M_i=\dfrac{M}{m_i}(1\le i \le n),M'_i$ 是满足同余方程 $Mix≡1(modm)iM_ix\equiv 1\pmod m_i$ 的整数.