初等数论 2.4 同余方程(1)

定义：设$x$是未知整数，形如$ax\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$的同余式称为一元线性同余方程.
定理：设$a,b\in \mathbb{Z}，m\in {\mathbb{Z}}^{+}，(a,m)=d$，若$d\nmid b$，则$ax\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$无解；若$d\mid b$，则$ax\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$恰有$d$个模$m$不同余的解.

证明：方程$ax\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$等价于二元线性Diophantine方程$ax-my=b$.整数$x$是$ax\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$的解当且仅当$\exists y,ax-my=b$.所以若$d\nmid b$，方程无解；若$d\mid b$，方程$ax-my=b$有无穷多解：$$x=x_0+\frac{m}{d}ty=y_0+\frac{a}{d}t$$其中$\{\begin{array}{l}x=x_0\\ y=y_0\end{array}$是方程的特解.
取其中两个解：$x_1=x_0+\frac{m}{d}{t}_1，x_2=x_0+\frac{m}{d}{t}_2$，若$x_1\equiv x_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$，则$\frac{m}{d}{t}_1\equiv \frac{m}{d}{t}_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$又$\frac{m}{d}\mid m$，所以$t_1\equiv t_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}d)$.
只需令$t$通过模$d$的完全剩余系，即方程$ax\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$恰有$d$个模$m$不同余的解.

推论：若$a,b\in \mathbb{Z}，m\in {\mathbb{Z}}^{+}，(a,m)=1$则线性同余方程组$ax\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$有模$m$的唯一解.
定理：设$p$是素数，$a\in {\mathbb{Z}}^{+}$，$a$是自身模$p$的逆当且仅当$a\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$或$a\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$.
定理（中国剩余定理）：设$m_1,m_2,\cdots ,m_n\in {\mathbb{Z}}^{+}$且两两互素，则同余方程组$$\begin{gathered} x\equiv a_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1) \\ x\equiv a_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_2) \\ ⋮ \\ x\equiv a_r(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_r) \end{gathered}$$有模$M=m_1{m}_2\cdots m_r$的唯一解.
定义：设$x$是未知整数，$f(x)\in \mathbb{Z}[x]$，形如$f(x)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$的同余式称为多项式同余方程.
定义：设$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$，其中$a_i\in \mathbb{R}i=0,1,2,\cdots ,n$则$f(x)$的导数$$f^{\prime }(x):=n{a}_n{x}^{n-1}+(n-1)a_{n-1}{x}^{n-2}+\cdots +a_1$$
定理：多项式导数的性质：若$f(x)$和$g(x)$是多项式，则：
1.$(f+g{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$.
2.$(cf{)}^{\prime }(x)=c\cdot f^{\prime }(x)$.
3.若$k\in {\mathbb{Z}}^{+}$，则$(f+g{)}^{(k)}(x)=f^{(k)}(x)+g^{(k)}(x)，(cf{)}^{(k)}(x)=c\cdot f^{(k)}(x)$.
4.若$m,k\in {\mathbb{Z}}^{+},k\le m$，且$f(x)=x^m$，则$f^{(k)}(x)=m(m-1)\cdots (m-k+1)x^{m-k}$.
定理：若$f(x)$是$n$次多项式，$a,b\in \mathbb{R}$，则$$f(a+b)=f(a)+f^{\prime }(a)b+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(a)b^2+\cdots +\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(a)b^n$$
定理（Hensel’s lemma）：设$f(x)\in \mathbb{Z}[x],2\le k\in \mathbb{Z},p$是素数，若$r$是同余方程$f(x)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}^{k-1})$的解，则：
1.若$f^{\prime }(r)̸\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，则$\exists !t\in \mathbb{Z}0\le t\le p$，使得$f(r+t{p}^{k-1})\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}^k)$，其中$$t\equiv -\overline{f^{\prime }(r)}\frac{f(r)}{p^{k-1}}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$ $\overline{f^{\prime }(r)}$是$f^{\prime }(r)$模$p$的逆.
2.若$f^{\prime }(r)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)，f(r)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}^k)$，则对$\forall t\in \mathbb{Z}$，有$f(r+t{p}^{k-1})\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}^k)$.
3.若$f^{\prime }(r)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)，f(r)̸\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}^k)$，则$f(x)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}^k)$不存在满足$x\equiv r(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}^{k-1})$的解.
推论：设$r$是多项式同余方程$f(x)\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$的一个解，其中$p$是素数.若$f^{\prime }(r)̸\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，则存在模$p^k$的唯一解$r_k，k=2,3,\cdots$，使得$r_1=r$且$r_k=r_{k-1}-f(r_{k-1})\overline{f^{\prime }(r)}$.
定义：设$A,B\in M_{n\times k}(\mathbb{Z})$，第$(i,j)$个元素为$a_{ij}$和$b_{ij}$.若$a_{ij}\equiv b_{ij}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)\forall 1\le i\le n，1\le j\le k$，则称$A$和$B$模$m$同余，记为$A\equiv B(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$.
定理：设$A,B\in M_{n\times k}(\mathbb{Z})，C\in M_{k\times p}(\mathbb{Z})，D\in M_{p\times n}(\mathbb{Z})$，若$A\equiv B(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$，则$AC\equiv BC(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)，DA\equiv DB(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$.
现在考虑线性同余方程组$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n\equiv b_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n\equiv b_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)\\ ⋮\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n\equiv b_n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)\end{array}$$利用矩阵记法，等价于矩阵同余方程$AX\equiv B(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$，其中$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]X=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right]$$
定义：若$A,\overline{A}\in M_n(\mathbb{Z})$，且$A\overline{A}\equiv \overline{A}A\equiv I(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$，其中$I={\left[\begin{array}{cccc}1& & & 0\\ & 1& & \\ & & \ddots & \\ 0& & & 1\end{array}\right]}_{n\times n}$是$n$阶单位矩阵，则称$\overline{A}$为$A$模$m$的一个逆.
定义：设$A\in M_n(\mathbb{Z})，m\in {\mathbb{Z}}^{+}$，若$AB=detA\cdot I$，则称$B$为$A$的伴随，记为$adj(A)$，或简记为$adjA$.

设$A\in M_n(\mathbb{Z})$，$A$的伴随是一个$n\times n$阶矩阵，它的第$(i,j)$个元素是$C_{ij}$.其中$C_{ij}$是$(-1{)}^{i+j}$乘$A$删去第$i$行$j$列矩阵的行列式.

定理：设$A\in M_n(\mathbb{Z})，m\in {\mathbb{Z}}^{+}$，若$(detA,m)=1$，则$\overline{A}=(detA{)}^{-1}\cdot adjA$是$A$模$m$的一个逆.
定理：若$A,B\in M_n(\mathbb{Z})，A\equiv B(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$，则对$\forall k\in {\mathbb{Z}}^{+}$，有$A^k\equiv B^k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$.
定义：若$A̸=I，A^2\equiv I(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$，则称$A$为模$m$对合的.