初等数论 2.7 乘性函数

最新推荐文章于 2023-11-06 14:56:19 发布

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本文深入探讨了初等数论中的乘性函数概念，包括其定义、性质和相关定理。讨论了完全乘性函数、算术函数的和函数、Dirichlet积以及重要的Möbius函数，还提出了Möbius反演公式及其在证明乘性函数性质中的应用。

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定义：定义在所有正整数上的函数称为算术函数.
定义：若算术函数对任意两个互素的正整数 $n$ 和 $m$ ，均有 $f(mn)=f(m)⋅f(n)f(mn)=f(m)\cdot f(n)$ ，则称 $f$ 为乘性函数.若对 $∀m,n∈Z+\forall m,n\in\Z^+$ ，均有 $f(mn)=f(m)⋅f(n)f(mn)=f(m)\cdot f(n)$ ，则称 $f$ 为完全乘性函数.
定理：若 $f$ 是一个乘性函数，且对 $∀n∈Z+\forall n\in\Z^+$ ，有标准分解： $n=p1a1p2a2⋯psasn=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_s^{a_s}$ ，则 $f(n)=f(p1a1)f(p2a2)⋯f(psas)f(n)=f(p_1^{a_1})f(p_2^{a_2})\cdots f(p_s^{a_s})$