初等数论 2.7 乘性函数

定义：定义在所有正整数上的函数称为算术函数.
定义：若算术函数对任意两个互素的正整数$n$和$m$，均有$f(mn)=f(m)\cdot f(n)$，则称$f$为乘性函数.若对$\forall m,n\in {\mathbb{Z}}^{+}$，均有$f(mn)=f(m)\cdot f(n)$，则称$f$为完全乘性函数.
定理：若$f$是一个乘性函数，且对$\forall n\in {\mathbb{Z}}^{+}$，有标准分解：$n=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}\cdots p_s^{a_s}$，则$f(n)=f(p_1^{a_1})$