初等数论 1.6 最大公因数

最新推荐文章于 2022-01-22 16:59:00 发布

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本文深入探讨了数论中的基本概念，包括公因数、最大公因数、互素、最小公倍数等，详细阐述了它们的性质与定理，并介绍了素数的概念及其重要性质。

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定义：设 $a1,a2,d∈Za_1,a_2,d\in\Z$ ，若 $d∣a1,d∣a2d\mid a_1,d\mid a_2$ ，则称 $d$ 是 $a_1$ 和 $a_2$ 的公因数（common divisor）.
一般地，设 $a1,a2,⋯ ,an,d∈Za_1,a_2,\cdots,a_n,d\in\Z$ ，若 $d∣aid\mid a_i$ 对 $∀1≤i≤n\forall1\le i \le n$ 成立，则称 $d$ 是 $a1,a2,⋯ ,ana_1,a_2,\cdots,a_n$ 的公因数.
定义：设 $a1,a2∈Za_1,a_2\in\Z$ 不全为 $0$ ，称 $a_1,a_2$ 公因数中最大者为 $a_1,a_2$ 的最大公因数（greatest common divisor），记做 $gcd(a_1,a_2)$ 或 $a_1,a_2)$ .
一般地，设 $a1,a2,⋯ ,an∈Za_1,a_2,\cdots,a_n\in\Z$ 不全为 $0$ ，称 $a1,a2,⋯ ,ana_1,a_2,\cdots,a_n$ 公因数中最大者为 $a1,a2,⋯ ,ana_1,a_2,\cdots,a_n$ 的最大公因数，记做 $gcd(a1,a2,⋯ ,an)gcd(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 或 $(a1,a2,⋯ ,an)(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ .

若 $d$ 是 $a1,a2,⋯ ,ana_1,a_2,\cdots,a_n$ 的公因数，则 $- d$ 也是 $a1,a2,⋯ ,ana_1,a_2,\cdots,a_n$ 的公因数.所以 $(a1,a2,⋯ ,an)∈Z+(a_1,a_2,\cdots,a_n)\in\Z^+$ .

定义：若 $a_1,a_2)=1$ ，则称 $a_1,a_2$ 互素.
一般地，若 $(a1,a2,⋯ ,an)=1(a_1,a_2,\cdots,a_n)=1$ ，则称 $a1,a2,⋯ ,ana_1,a_2,\cdots,a_n$ 互素.

若 $a1,a2,⋯ ,ana_1,a_2,\cdots,a_n$ 两两互素，则 $(a1,a2,⋯ ,an)=1(a_1,a_2,\cdots,a_n)=1$ .
设 $a,b∈Za,b\in\Z$ 不全为 $0$ ，则 $k(a,b)∣k∈Z=ma+nb∣m,n∈Z\displaystyle {k(a,b)\mid k\in\Z}={ma+nb\mid m,n\in\Z}$

定理：设 $a1,a2,⋯ ,an∈Za_1,a_2,\cdots,a_n\in\Z$ ，记 $A=y∣y=∑i=1naixi,xi∈Z,1≤i≤n\displaystyle A={y\mid y=\sum_{i=1}^{n}{a_ix_i},\quad x_i\in\Z,\quad 1\le i \le n}$ ，则 $(a1,a2,⋯ ,an)(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 是 $A$ 中最小的正整数.
推论：（Bezout定理）：设 $a1,a2,⋯ ,an∈Za_1,a_2,\cdots,a_n\in\Z$ 不全为 $0$ ，则 $∃x1,x2,⋯ ,xn∈Z\exists x_1,x_2,\cdots,x_n\in\Z$ ，使得 $∑i=1naixi=(a1,a2,⋯ ,an)\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{a_ix_i}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ .
推论：若 $d∣aid\mid a_i$ 对 $∀1≤i≤n\forall 1\le i \le n$ 成立，则 $d∣(a1,a2,⋯ ,an)d\mid (a_1,a_2,\cdots,a_n)$ .
一般地，若 $bi∣aib_i\mid a_i$ 对 $∀1≤i≤n\forall 1\le i \le n$ 成立，则 $(b1,b2,⋯ ,bn)∣(a1,a2,⋯ ,an)(b_1,b_2,\cdots,b_n)\mid (a_1,a_2,\cdots,a_n)$ .
推论：若 $a1,a2,⋯ ,an∈Za_1,a_2,\cdots,a_n\in\Z$ 不全为 $0$ ，对 $∀m∈Z\forall m\in\Z$ ， $∃x1,x2,⋯ ,xn∈Z\exists x_1,x_2,\cdots,x_n\in\Z$ ，使得 $∑i=1naixi=m\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{a_ix_i}=m$ 当且仅当 $(a1,a2,⋯ ,an)∣m(a_1,a_2,\cdots,a_n)\mid m$ .

$∑i=1naIxi=1\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{a_Ix_i}=1$ 当且仅当 $(a1,a2,⋯ ,an)=1(a_1,a_2,\cdots,a_n)=1$ .

定理：最大公因数的一些性质：
1. $(a,b)=(b,a)=(∣a∣,∣b∣)(a,b)=(b,a)=(\lvert a \rvert , \lvert b \rvert )$ .
1’. $(a1,a2,⋯ ,an)=(ai1,ai2,⋯ ,ain)=(∣a1∣,∣a2∣,⋯ ,∣an∣)(a_1,a_2,\cdots,a_n)=(a_{i_1},a_{i_2},\cdots,a_{i_n})=(\lvert a_1 \rvert , \lvert a_2 \rvert , \cdots , \lvert a_n \rvert )$ .其中， $(i1,i2,⋯ ,in)(i_1,i_2,\cdots,i_n)$ 是 $(1,2,⋯ ,n)(1,2,\cdots,n)$ 的一个排列.
2.若 $a≠0a\neq 0$ ，则 $(a,0)=a(a,a)=∣a∣(a,0)=a\quad (a,a)=\lvert a \rvert$ .

一般地， $(0,a2,⋯ ,an)=(a2,⋯ ,an)(0,a_2,\cdots,a_n)=(a_2,\cdots,a_n)$ .

3.若 $b∣ab\mid a$ ，则 $(a,b)=∣b∣(a,b)=\lvert b \rvert$ ，且对 $∀c∈Z\forall c\in\Z$ ，有 $(b,c)∣(a,c)(b,c)\mid (a,c)$ .
4. $(a1,a2)=(a1,a2+ka1)∀k∈Z(a_1,a_2)=(a_1,a_2+ka_1)\quad \forall k\in\Z$ .
4’. $(a1,a2,⋯ ,an)=(a1,a2+k2a1,⋯ ,an+kna1)∀k2,⋯ ,kn∈Z(a_1,a_2,\cdots,a_n)=(a_1,a_2+k_2a_1,\cdots,a_n+k_na_1)\quad \forall k_2,\cdots,k_n \in\Z$ .
5.若 $a = b q + r$ ，则 $(a,b)=(b,r)q,r∈Z(a,b)=(b,r)\quad q,r\in\Z$ .
6. $(ma,mb)=∣m∣(a,b)(ma,mb)=\lvert m \rvert (a,b)$ ，其中 $m≠0m\neq 0$ .
6’. $(ma1,ma2,⋯ ,man)=∣m∣(a1,a2,⋯ ,an)(ma_1,ma_2,\cdots,ma_n)=\lvert m \rvert (a_1,a_2,\cdots,a_n)$ .
7. $(a(a,b),b(a,b))=1\displaystyle (\frac{a}{(a,b)},\frac{b}{(a,b)})=1$ .
7’. $(a1(a1,a2,⋯ ,an),a2(a1,a2,⋯ ,an),⋯ ,an(a1,a2,⋯ ,an))=1\displaystyle (\frac{a_1}{(a_1,a_2,\cdots,a_n)},\frac{a_2}{(a_1,a_2,\cdots,a_n)},\cdots,\frac{a_n}{(a_1,a_2,\cdots,a_n)})=1$ .
8.设 $a,b,c∈Za,b,c\in\Z$ ，若 $b∣acb\mid ac$ 且 $(a, b) = 1$ ，则 $b∣cb\mid c$ .

若 $a∣c，b∣ca\mid c，b\mid c$ 且 $(a, b) = 1$ ，则 $ab∣cab\mid c$ .
若 $(a, b) = 1$ ，则 $(a, b c) = (a, c)$ .

8’. $(ai,bj)=11≤i≤m1≤j≤n\displaystyle (a_i,b_j)=1 \quad 1\le i \le m \quad 1\le j \le n$ ，则 $(a1a2⋯an,b1b2⋯bn)=1(a_1a_2\cdots a_n,b_1b_2\cdots b_n)=1$ .

对于 $∀m,n∈Z，(a,b)=1\forall m,n\in\Z，(a,b)=1$ 当且仅当 $a^m,b^n)=1$ .

8’’.设 $a,b∈Za,b\in\Z$ 不全为 $0$ ， $n∈Z+n\in\Z^+$ ，则 $a^n,b^n)=(a,b)^n$ .
8’’’.设 $a,b∈Za,b\in\Z$ ， $a∣ba\mid b$ 当且仅当 $an∣bna^n\mid b^n$ .
定义：与公因子相似，设 $a,b∈Za,b\in\Z$ 均不为 $0$ ，若 $a1∣m,a2∣ma_1\mid m,\quad a_2\mid m$ ，则称 $m$ 为 $a_1,a_2$ 的公倍数.
一般地，非零整数 $a1,a2,⋯ ,ana_1,a_2,\cdots,a_n$ 的公倍数中的最小正整数称为 $a1,a2,⋯ ,ana_1,a_2,\cdots,a_n$ 的最小公倍数（least common multiple）.记为 $[a1,a2,⋯ ,an]\displaystyle [a_1,a_2,\cdots,a_n]$ .

最小公倍数和最大公因数有相似的性质.

定理：设 $a,b∈Za,b\in\Z$ 均不为 $0$ ，则 $(a,b)[a,b]=∣ab∣\displaystyle(a,b)[a,b]=\lvert ab \rvert$ .
定义：设 $a∈Za\in\Z$ 且 $a > 1$ .若 $a$ 的正因数只有 $1$ 和 $a$ ，则称 $a$ 为素数（prime number）.否则称 $a$ 为合数.

定义： $π(x)\pi(x)$ 表示小于或等于某个实数 $x$ 的素数个数.

定理：设 $a∈Za\in\Z$ 且 $a > 1$ ，则 $a$ 的除 $1$ 以外的最小正因数为素数，且 $a$ 为合数时，必有 $q≤a\displaystyle q\le \sqrt{a}$ .
推论（Eratosthenes筛法）：若大于 $1$ 的整数 $a$ 不能被任何不超过 $a\displaystyle \sqrt{a}$ 的素数整除，则 $a$ 必为素数.
定理：素数有无穷多个.

证明：设 $Z^+$ 中只有有限个素数 $p1,p2,⋯ ,pkp_1,p_2,\cdots,p_k$ ，考虑 $a=p1p2⋯pk+1a=p_1p_2\cdots p_k+1$ ，显然 $a > 1$ , $a$ 有素因数 $p$ ，且 $p∈p1,p2,⋯ ,pk\displaystyle p\in{p_1,p_2,\cdots,p_k}$ ，则 $p∣p1p2⋯pkp\mid p_1p_2\cdots p_k$ .由 $p∣ap\mid a$ ， $p=±1p=\pm 1$ .与 $p$ 是素数矛盾，所以素数有无穷多个.

定理：设 $p$ 是素数， $a∈Za\in\Z$ ，则 $p∣ap\mid a$ 或 $(p, a) = 1$ .
推论：设 $p$ 是素数， $a1,a2,⋯ ,an∈Za_1,a_2,\cdots,a_n\in\Z$ ，若 $p∣a1a2⋯anp\mid a_1a_2\cdots a_n$ ，则 $∃ai1≤i≤n\exists a_i \quad 1\le i \le n$ ，使得 $p∣aip\mid a_i$ .