初等数论 1.5 整除性

定义：设$a,b\in \mathbb{Z}$且$a̸=0$，若$\exists c\in \mathbb{Z}$，使得$b=ac$，则称$a$整除$b$，记为$a|b$.$a$是$b$的一个因子（factor），$b$是$a$的倍数（multiple）.否则记为$a\nmid b$.

对于$\forall 0̸=a\in \mathbb{Z}$，有$\pm a\mid a,\pm 1\mid a$，称$\pm a,\pm 1$为$a$的平凡因子.

定理：整除的一些性质：
1.若$b\mid a$，则$\pm b\mid \pm a$.
2.若$c\mid b,b\mid a$，则$c\mid a$.（整除具有传递性）
3.若$c\mid a,c\mid b$，则对于$\forall m,n\in \mathbb{Z}$，$c\mid (ma+nb)$.
3’.若$b\mid a_i(i=1,2,\cdots ,n)$，则对于$\forall m_i\in \mathbb{Z}$，$b\mid \sum _{i=1}^n{a}_i{m}_i$.
4.若$b\mid a,c̸=0$，则$bc\mid ac$.
4’.若$bc\mid ac,c̸=0$，则$b\mid a$.
5.若$b\mid a,a̸=0$，则$|b|\le |a|$.
5’.若$b\mid a,|b|>|a|$，则$a=0$.
5’’.若$b\mid a,a\mid b$，则$|a|=|b|$，即$a=\pm b$.

一些分解技巧：
$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots +a{b}^{n-2}+b^{n-1})$
$a^n+b^n=\{\begin{array}{l}(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\cdots -a{b}^{n-2}+b^{n-1})n为奇数\\ (a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\cdots -a{b}^{n-2}-b^{n-1})n为偶数\end{array}$

定理：带余除法（division algorithm）：设$a,b\in \mathbb{Z},b̸=0$，则$\exists !q,r\in \mathbb{Z}$，使得$a=bq+r0\le r<b$.其中，$q$为$a$被$b$除的不完全商，$r$是$a$被$b$除的余数（最小非负余数）.

证明：存在性：首先设$S=a-bk\mid k\in \mathbb{Z}$，设$T=S\cap \mathbb{N}$.$T$是非空的，由良序性质，$T$中有最小元$r=a-bq$，根据集合$T$的构造，$r\ge 0$.若$r\ge b$，则$r>r-b=a-bq-b=a-b(q+1)\ge 0$，与$r$是$T$中的最小元矛盾.
唯一性：若$a=b{q}_1+r_1=b{q}_2+r_2$，则$$0=b(q_1-q_2)+(r_1-r_2)$$$$r_2-r_1=b(q_1-q_2)$$由整除性质5，$r_2-r_1=0$，从而$b{q}_1=b{q}_2$，由整除性质4，$q_1=q_2$.
综上，$q$和$r$是唯一的.
特别地，$b\mid a$当且仅当$r=0$.

定理：在带余除法中，$q=[\frac{a}{b}],r=a-b[\frac{a}{b}]$
推论：若$a,b,d\in \mathbb{Z},b̸=0$，则$\exists !q,r\in \mathbb{Z}$，使得$a=bq+rd\le r<|b|+d$.

定义：最小正余数：令$d=1$，使$1\le r<b+1$，即$1\le r\le b$.
绝对最小余数：对于$a,b\in {\mathbb{Z}}^{+},\exists !q,r\in \mathbb{Z}$，使得$a=bq+r$，其中$-\frac{b}{2}\le r\le \frac{b}{2}$

定义：在带余除法中，对于$a\in \mathbb{Z}$，当$b=2$时，若$r=0$，则称$a$为偶数（even），否则称$a$为奇数（odd）.
推广：整数的$b$进制表示：设$1<b\in \mathbb{Z}$，$\forall a\in \mathbb{Z}$ $$a=r_k{b}^k+r_{k-1}{b}^{k-1}+\cdots +r_{1}b+r_0$$ 其中$r_k̸=0,r_i(0\le i\le k)$是在$0$到$b-1$间唯一的整数.

练习：整数$n$为偶数当且仅当$n-2[\frac{n}{2}]=0$.
设$f_n$是第$n$个Fibonacci数，证明若$m,n\in {\mathbb{Z}}^{+},n\mid m$，则$f_n\mid f_m$.