解的存在唯一性定理与逐步逼近法

研究对象

$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)\text{\hspace{1em}(1)}$$
这里 $f(x,y)$ 是在矩形域
$$R:|x-x_0|\le a,|y-y_0|\le b$$
上的连续函数

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预备知识

利普希茨条件

函数 $f(x,y)$ 称为在 $R$ 上关于 $y$ 满足利普希茨条件，如果存在常数 $L>0$ 使得不等式

$$|f(x,y_1)-f(x,y_2)|⩽L|y_1-y_2|$$

对于所有 $(x,y_1),(x,y_2)\in R$ 都的成立，$L$ 称为利普希茨常数

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魏尔斯特拉斯判别法

设函数项级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)(x\in D)$ 的每一项 $u_n(x)$ 满足

$$|u_n(x)|⩽a_n,x\in D,$$

并且数项级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛，则 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$ 在 $D$ 上一致收敛

定理

定理1(解的存在唯一性定理)

如果 $f(x,y)$ 在矩形域 $R$ 上连续且关于 $y$ 满足利普希茨条件，则方程(1)存在唯一的解 $y=\phi (x)$ ,定义于区间 $|x-x_0|\le h$ 上,连续且满足初值条件
$$\phi (x_0)=y_0$$
这里 $h=\min \left(a,\frac{b}{M}\right)$ ，$M=\underset{(x,y)\in R}{\max }|f(x,y)|$

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定理2

$$F(x,y,y^{\prime })=0\text{\hspace{1em}(2)}$$
如果在点 $(x_0,y_0,y_0^{\prime })$ 的某一个领域中，

1. $F(x,y,y^{\prime })$ 对所有变元 $(x,y,y^{\prime })$ 连续，且存在连续偏导数
2. $F(x_0,y_0,y_0^{\prime })=0$
3. $\frac{\partial F(x_0,y_0,y_0^{\prime })}{\partial y^{\prime }}\ne 0$

则方程存在唯一解

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证明

定理一的证明

命题1 该微分方程等价于一积分方程