代数方程解的存在性和唯一性（if and only if）

代数方程解的存在性和唯一性（if and only if）

1、存在性

定义一个函数$f:X\to Y$，对于值域上的每一个$b\in Y$，方程$f(x)=b$在定义域上有解吗？

如果有解，那么该函数是一个满射，或叫$onto$$\ (surjective)\ function$ 。所以，满射是解存在的前提条件。

满射定义：$\forall y\in Y, \quad \exists x\in X,\quad s.t.\quad f(x)=y$

2、唯一性

如果解存在，那么解是唯一的还是有很多？

对于一个方程$T(x)=b$，如果值域上的每一个$b$最多有一个解，则函数$T$叫做单射或一对一映射，即$one\ to\ one\ (injective)\ function$。

所以，单射是解唯一性的前提条件。

单射定义：$\forall x\in X, \quad \exists y\in Y,\quad s.t.\quad f(x)=y\quad and\quad x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$

第一个例子。

身份证号函数$f$：中国人$\to$身份证号。这个函数不是一个满射，因为有的人已经去世，身份证号
再没有对应的人了；但是这是一个单射，因为每一个中国人只有一个身份证号（理论意义上）。

第二个例子。

定义一个函数$f:\mathbb R\to\mathbb R^+$，$x\mapsto x^2$，这是一个满射，因为每一个正实数都存在一个实数域内的平方根。但很显然不是一个单射，因为任何一个正数都存在两个平方根，一正一负。

后记

1、可逆

如果一个函数$T$既是满射也是单射，即单调，则该函数可逆。因为满射保证了$T^{-1}$的定义域存在，而单射保证了值域的唯一性。

但是函数的可逆性并不能保证映射既是满射也是单射。因为一个不可逆的函数可以在值域的某个范围内是可逆的，比如$f=x^2$，在其单调区间上是可逆的，比如$[0, +\infty]$。

2、复合函数

定义函数$f:C\to D$和函数$g:A\to B$，满足$B\subset C$，则复合函数$(f\circ g):A\to D$定义为

$$(f\circ g)(x)\equiv f(g(x))$$
或者可写为
$$A\xrightarrow[g] {}B\subset C\xrightarrow[f] {}D$$
注意，要使$f\circ g$有意义，则$g$的值域包含于$f$的定义域。

一个直观例子。

定义$F$为父亲，$M$为母亲，则$F\circ M$表示母亲的父亲，即外祖父；而$M\circ F$表示父亲的母亲，即祖母。

可见复合算子是不满足交换律的。

$F\circ (F\circ M)$表示外祖父的父亲；$(F\circ F)\circ M$表示母亲的祖父。可见是同一个人。所以，复合算子满足结合律。与矩阵的乘法相似。

满射之间的复合仍为满射。

单射之间的复合仍为单射。

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