数论——唯一分解定理

算术基本定理（唯一分解定理）

一句话： 
　　　　 
任何大于１的自然数，都可以唯一分解成有限个质数的乘积

例如对于大于1的自然数n， 
 
这里Pii均为质数，其指数aii是正整数。 
这样的分解称为的标准分解式。

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唯一分解定理具有： 
　①唯一性（分配方式的唯一性） 
　②存在性　　　　

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证明：

百度百科+自己胡搞了+自己以前做的笔记

①唯一性 
　　首先明确一个事实，若p是ab的约数（p|ab,p可以整除ab），则p不是a的约数，就是b的约数。 
　　如果p是a的约数则证毕。如果p不是a的约数，则p和a的最大公约数为1。 
　　则由裴蜀定理推得，因为使a,b互质的充要条件是存在整数x,y使ax+by=1。 
　　于是b=b(ma+np) =abm+bnp（……）； 
　　因为先前已经知道p是ab的约数，则上式右边两项都可以被p整除。 
　　所以p就是b的约数。 
　　唯一性得证。 
　　 
②存在性 
　　假设n为不能被分为质数的乘积的自然数之一，切n为最小 
　　因为设n为大于1的合数（如果n为质数，则只有n=n，显然这是质数的乘积） 
　　因为每个合数都可以分为两个大于1小于它的两自然数的乘积 
　　所以n=a×b 
　　又因为n为不能被分为质数的乘积的自然数中最小的一个 
　　所以a和b可以分为质数的乘积 
　　所以n已就可以分为质数的乘积，与假设不符合，故假设错误 
　　存在性得证。　

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定理应用：

（1）一个大于1的正整数N，如果它的标准分解式为：  

，那么它的正因数个数为                      

（2） 它的全体正因数之和为

  

当  

时就称N为完全数。 是否存在奇完全数，是一个至今未解决之猜想。

（3） 利用算术基本定理可以重新定义整数a和b的最大公因子 gcd(a,b)

和最小公倍数 lcm(a,b), 并证明

 a*b=gcd(a,b) * lcm(a,b) 

(原来这里直接用的结论，现在知道如何证明的了，证明见下)

（4）此外还可证明根号2是无理数等等。

（5）证明素数个数无限。 

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证明（3）：（用唯一分解定理）

　　现在我们来看下下下面这个式子： 
　　已知gcd[最小公约数] (a,b)，lcm[最大公倍数] (a,b)； 
　　a×b=gcd(a,b)×lcm(a,b) 
　　 
　　a=12;b=14 
　　gcd(a,b)=2 ; lcm(a,b)=84 ; 
　　tot=168 [gcd(a,b)×lcm(a,b)] 
　　a×b＝12×14=168 
　　然后 
　　12=3×4 
　　14=2×7 
　　： 
　　： 
　　12=2^1×2^1×3^1 
　　14=2^1×7^1 
　　所以 max=7^1×3^1×=21 
　　　　 min=2^1×2^1×2^1=8 
　　　　 min×max＝168 = gcd(a,b)×lcm(a,b) = a×b 
　　 
　　所以gcd(a,b)×lcm(a,b) = a×b 
　　 
　　证明： 
　　设x=gcd(a,b)，y=lcm(a,b) 
　　则a=m×x，b=n×x,m与n互质 
　　故y=m×n*x 
　　因此x×y=x×(m×n×x)=(m×x)×(n×x)=a×b 
　　即a×b=gcd(a,b)×lcm(a,b)

证明完毕

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另加一个用欧拉函数求小于等于n的和n互质的数的数量 
公式：

phi(n) = n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pn)      容斥很爆炸

例如 n=12

12=2^2*3^1

phi(12)=12*(1-1/2)*(1-1/3)=4

与 12 互质的数量是 4个，分别是 1,5,7,11