数值分析（第五版）清华大学出版社 第一章课后习题答案

1. 设 $x>0$，$x$ 的相对误差为 $\delta$，求 $\ln x$ 的误差。
   答案：
   $$|\ln x-\ln x^{\ast }|\approx |\frac{1}{x}(x-x\ast )|=\delta$$
   解析：
   使用taylor展开分析得到
   $$\epsilon (f(x^{\ast }))\approx |f^{\prime }(x^{\ast })|\epsilon (x^{\ast })$$

2. 设 $x$ 的相对误差为 2%，求 $x^n$ 的相对误差。
   答案：
   $$\begin{array}{r}\delta (x^n)=\left|\frac{\epsilon (x)}{x^n}\right|=\left|\frac{n{x}^{n-1}\epsilon (x)}{x^n}\right|=n\left|\frac{\epsilon (x)}{x}\right|=n\delta (x)\end{array}=0.02n$$
   解析：
   与题1同理

3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：
   $$x_1^{\ast }=1.1021,x_2^{\ast }=0.031,x_3^{\ast }=385.6,x_4^{\ast }=56.430,x_5^{\ast }=7\times 1.0$$
   答案：
   5,2,4,5,2
   解析：
   (不清楚 $x_5^{\ast }$ 的表示形式，可能想表达 $x_5^{\ast }=7.0$)

4. 利用公式 (2.3) 求下列各近似值的误差限：
   (1) $x_1^{\ast }+x_2^{\ast }+x_4^{\ast }$；
   (2) $x_1^{\ast }{x}_2^{\ast }{x}_3^{\ast }$；
   (3) $x_2^{\ast }/x_4^{\ast }$。
   其中 $x_1^{\ast },x_2^{\ast },x_3^{\ast },x_4^{\ast }$ 均为第 3 题所给的数。
   答案：
   $\epsilon (x_1^{\ast })=0.5\ast 10^{-4}$,
   $\epsilon (x_2^{\ast })=0.5\ast 10^{-3}$,
   $\epsilon (x_3^{\ast })=0.5\ast 10^{-1}$,
   $\epsilon (x_4^{\ast })=0.5\ast 10^{-3}$,
   (1) $\epsilon (x_1^{\ast }+x_2^{}$