bzoj4517 [Sdoi2016]排列计数（错排+组合数学）

最新推荐文章于 2019-10-19 16:09:49 发布

Icefox_zhx

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分类专栏： bzoj ---------数学--------- 组合数学计数

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本文探讨了错排问题的递推及通项公式，并通过一个C++程序实现了错排数的计算及其组合应用。利用容斥原理进行解析，介绍了递推公式Dn=(n−1)(Dn−1+Dn−2)与通项公式Dn=n!∑k=2n(−1)kk!。最后给出了具体的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

错排。
递推公式： $D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2}),D_1=0,D_2=1$
通项公式： $D_n=n!\sum\limits_{k=2}^n\frac{(-1)^k}{k!}$
可以用容斥原理来理解。

此题答案就是 $C_n^mD_{n-m}$

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 1000010
#define mod 1000000007
inline char gc(){
    static char buf[1<<16],*S,*T;
    if(S==T){T=(S=buf)+fread(buf,1,1<<16,stdin);if(T==S) return EOF;}
    return *S++;
}
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=gc();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=gc();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=gc();
    return x*f;
}
int n,m,fac[N],inv[N],ifac[N],D[N];
inline int C(int n,int m){
    return (ll)fac[n]*ifac[m]%mod*ifac[n-m]%mod;
}
int main(){
//  freopen("a.in","r",stdin);
    inv[1]=1;fac[0]=1;ifac[0]=1;
    for(int i=2;i<=1e6;++i) inv[i]=(ll)inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
    for(int i=1;i<=1e6;++i) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod,ifac[i]=(ll)ifac[i-1]*inv[i]%mod;
    D[0]=1;D[1]=0;D[2]=1;
    for(int i=3;i<=1e6;++i) D[i]=(ll)(i-1)*(D[i-1]+D[i-2])%mod;
    int tst=read();
    while(tst--){
        int n=read(),m=read();
        if(m>n){puts("0");continue;}
        int ans=(ll)C(n,m)*D[n-m]%mod;
        printf("%d\n",ans);
    }return 0;
}