[bzoj4517][SDOI2016]排列计数

题目大意

a是关于n的排列。
问有多少符合条件的排列——恰有m个位置满足a[i]=i

错排

设dp[i]表示i个元素的错排方案数。
什么意思呢？就是关于i的排列其中不存在任意的a[j]=j。
答案显然就是$C_n^m*dp[n-m]$
组合数快速算可以预处理阶乘以及阶乘的逆元。
怎么预处理出dp呢？
我们可以使用容斥原理：
例如dp[n]，其实就是要满足n个条件——第i个条件为a[i]!=i
那么合法方案数=至少不满足0个条件-至少不满足1个条件+至少不满足2个条件-至少不满足3个条件+……
也就是
$dp[n]=\sum_{i=0}^n(-1)^i*C_n^i*(n-i)!$
$dp[n]=\sum_{i=0}^n(-1)^i*\frac{n!}{i!*(n-i)!}*(n-i)!$
$dp[n]=\sum_{i=0}^n(-1)^i*\frac{n!}{i!}$
$dp[n]=(-1)^n+\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i*\frac{n!}{i!}$
$dp[n]=(-1)^n+n*\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i*\frac{(n-1)!}{i!}$
$dp[n]=(-1)^n+n*dp[n-1]$
于是我们可以线性的预处理出dp数组。
然后这题就可以做了。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mo=1000000007,maxn=1000000+10;
int f[maxn],g[maxn],dp[maxn];
int i,j,k,l,t,n,m,ca,ans;
int qsm(int x,int y){
    if (!y) return 1;
    int t=qsm(x,y/2);
    t=(ll)t*t%mo;
    if (y%2) t=(ll)t*x%mo;
    return t;
}
int main(){
    f[0]=1;
    fo(i,1,1000000) f[i]=(ll)f[i-1]*i%mo;
    g[1000000]=qsm(f[1000000],mo-2);
    fd(i,999999,0) g[i]=(ll)g[i+1]*(i+1)%mo;
    dp[0]=1;dp[1]=0;
    fo(i,2,1000000)
        dp[i]=(((ll)dp[i-1]*i%mo+((i%2)?-1:1))%mo+mo)%mo;
    scanf("%d",&ca);
    while (ca--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        ans=(ll)f[n]*g[m]%mo*g[n-m]%mo*dp[n-m]%mo;
        printf("%d\n",ans);
    }
}