Codeforces #663E: Binary Table 题解

最新推荐文章于 2021-06-14 22:54:33 发布

IcePrincess_1968

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分类专栏： ----------多项式---------- FWT 文章标签：思维 FWT

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这篇博客介绍了如何解决Codeforces上的#663E问题，重点在于利用位运算和状态压缩来优化解决方案。通过枚举行的翻转状态并计算每列在翻转后的最少1的数量，博主提供了详细的理解和公式解析。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

很好的题目
看到列很多但是行很少，我们显然想到状压行，考虑枚举一个 $Mask$ 表示行的翻转状态，第i位是1表示翻转了第i行，反之亦然
这样枚举完了以后，设第i列原来的状态是 $mask$ ,那么现在的状态就是 $Mask\bigoplus mask$ ，这时我们考虑是否需要翻转第i列的时候，只要考虑 $Mask\bigoplus mask$ 和 $!(Mask\bigoplus mask)$ 中哪个1比较少就可以了
形式化的，记 $F(mask)$ 表示原来的m列中有多少列的值是 $mask$ ，记 $G(mask)$ 表示如果考虑过行的翻转后这列的状态是 $mask$ ，这列最终最少能有多少个1，即 $G(mask)=min(buitin-popcount(mask),n-builtin-popcount(mask))$
我们的目标是计算：

min M a s k = 0 2 n - 1 \sum m a s k = 0 2 n - 1 F (m a s k) * G (M a s k ⨁ m a s k)

$\min_{Mask=0}^{2^{n}-1}\sum_{mask=0}^{2^{n}-1}F(mask)*G(Mask\bigoplus mask)$
然后我们很开心的发现这样的复杂度是

O(22n)O(22n) $O(2^{2n})$ ,会超时
尝试重写上面的式子,记

res=Mask⨁maskres=Mask⨁mask $res=Mask\bigoplus mask$

min M a s k = 0 2 n - 1 \sum m a s k = 0 2 n - 1 F (m a s k) * G (M a s k ⨁ m a s k)

$\min_{Mask=0}^{2^{n}-1}\sum_{mask=0}^{2^{n}-1}F(mask)*G(Mask\bigoplus mask)$

= min M a s k = 0 2 n - 1 \sum m a s k = 0 2 n - 1 \sum r e s = 0 2 n - 1 [M a s k ⨁ m a s k = r e s] * F (m a s k) * G (r e s)

$=\min_{Mask=0}^{2^{n}-1}\sum_{mask=0}^{2^{n}-1}\sum_{res=0}^{2^{n}-1}[Mask\bigoplus mask=res]*F(mask)*G(res)$
考虑到异或的优良性质，中括号内的等式内的元素是可以换顺序的，即

= min M a s k = 0 2 n - 1 \sum m a s k = 0 2 n - 1 \sum r e s = 0 2 n - 1 [r e s ⨁ m a s k = M a s k] * F (m a s k) * G (r e s)

$=\min_{Mask=0}^{2^{n}-1}\sum_{mask=0}^{2^{n}-1}\sum_{res=0}^{2^{n}-1}[res\bigoplus mask=Mask]*F(mask)*G(res)$
还不够明显，换个写法

= min M a s k = 0 2 n - 1 \sum m a s k ⨁ r e s = M a s k F (m a s k) * G (r e s)

$=\min_{Mask=0}^{2^{n}-1}\sum_{mask\bigoplus res=Mask}F(mask)*G(res)$
很好，这就是一个异或卷积，所以可以FWT
这样总复杂度为

O(2nlog(2n))O(2nlog(2n)) $O(2^{n}log(2^{n}))$ ，即

O(n2n)O(n2n) $O(n2^{n})$

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <utility>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <bitset>
#include <set>
#include <map>
#include <vector>
#include <queue>
#include <deque>
#include <stack>
#include <cmath>
#define LL long long
#define LB long double
#define x first
#define y second
#define Pair pair<int,int>
#define pb push_back
#define pf push_front
#define mp make_pair
#define LOWBIT(x) x & (-x)
using namespace std;

const int MOD=1e9+7;
const LL LINF=2e16;
const int INF=2e9;
const int magic=348;
const double eps=1e-10;
const double pi=3.14159265;

inline int getint()
{
    char ch;int res;bool f;
    while (!isdigit(ch=getchar()) && ch!='-') {}
    if (ch=='-') f=false,res=0; else f=true,res=ch-'0';
    while (isdigit(ch=getchar())) res=res*10+ch-'0';
    return f?res:-res;
}

int n,m,len;
char s[22][100048];

LL a[2000048],b[2000048];

inline void FWT(LL c[],int fl)
{
    int clen,j,k;
    for (clen=2;clen<=len;clen<<=1)
        for (j=0;j<len;j+=clen)
            for (k=j;k<j+(clen>>1);k++)
            {
                LL tmp1=c[k],tmp2=c[k+(clen>>1)];
                if (fl==1)
                    c[k]=tmp1+tmp2,c[k+(clen>>1)]=tmp1-tmp2;
                else
                    c[k]=((tmp1+tmp2)>>1),c[k+(clen>>1)]=((tmp1-tmp2)>>1);
            }
}

inline void calc_FWT()
{
    len=(1<<n);
    FWT(a,1);FWT(b,1);
    for (register int i=0;i<=(1<<n)-1;i++) a[i]*=b[i];
    FWT(a,-1);
}

int main ()
{
    int i,j,Mask;
    n=getint();m=getint();
    for (i=1;i<=n;i++) scanf("%s",s[i]+1);
    for (j=1;j<=m;j++)
    {
        Mask=0;
        for (i=1;i<=n;i++) Mask|=((s[i][j]-'0')<<(i-1));
        a[Mask]++;
    }
    for (Mask=0;Mask<=(1<<n)-1;Mask++)
        b[Mask]=min(__builtin_popcount(Mask),n-__builtin_popcount(Mask));
    calc_FWT();
    LL ans=LINF;
    for (i=0;i<=(1<<n)-1;i++) ans=min(ans,a[i]);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}