TopCoder SRM478C: RandomApple 题解

最新推荐文章于 2018-11-09 09:13:17 发布

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本文介绍了一种使用动态规划解决苹果概率计算问题的方法。通过定义dp数组记录不同数量苹果的选择方案数，并利用dp2数组排除特定箱子的情况，最终计算出每个苹果被选中的概率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

乍一看不知道该从哪个角度下手
试图考虑每个苹果对答案的贡献
那我们就要先知道这个苹果所在的箱子对答案的贡献
假设我们知道第i个箱子被选中的概率 $pi$ ，能不能直接算每个苹果的贡献呢？
答案是否定的，因为第i个箱子被选中的方案中，每种方案都有不同的苹果总数，这样在题目中的第二轮挑苹果中就不知道拿什么作分母
考虑到所有苹果的数量和不大于5e5，考虑背包
dp[i][j]表示当前考虑完第i个箱子，总共选中了j个球的选法有多少种
注意到 $n<=50$ ，所以用long long是存的下的
显然有转移方程 $dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-a[i]] (j>=a[i])$
这样我们枚举每一个箱子，然后对剩下的n-1个箱子做一遍背包，然后对于每一种球数加上当前箱子里的球数算一算就好了
但是到这还没完，这样的总复杂度是 $O(n^2W)$ 的，其中 $W=200*n*k$ ，不出意外会超时
考虑到我们之前做了n-1次背包，看似十分浪费，考虑从这里优化
我们还用这个dp状态和转移方程，对n个箱子做dp
然后再来一个dp2[i][j]表示在不选i号盒子的前提下，选出j个小球的方案数
转移考虑用所有选出j个球的方案数减去包含了i号箱子的j个球方案数
我们有dp2的方程： $dp2[i][j]=dp[i][j]-dp2[i][j-a[i]] (j>=a[i])$
减的那部分表示我钦定i号盒子必选，那么只要再选j-a[i]个球就行了，这再选的球中也不含盒子i
这样对于每个盒子里面的每个球，被选中的概率是

\sum k = 0 s u m - a [i] d p 2 [i] [k] / (2 n - 1) / (k + a [i])

$\sum_{k=0}^{sum-a[i]} dp2[i][k]/(2^{n}-1)/(k+a[i])$
于是这道题就做完了，非常好的dp题

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <utility>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <bitset>
#include <set>
#include <map>
#include <vector>
#include <queue>
#include <deque>
#include <stack>
#include <cmath>
#define LL long long
#define LB long double
#define x first
#define y second
#define Pair pair<int,int>
#define pb push_back
#define pf push_front
#define mp make_pair
#define LOWBIT(x) x & (-x)
using namespace std;

const int MOD=1e9+7;
const LL LINF=2e16;
const int INF=2e9;
const int magic=348;
const double eps=1e-10;
const double pi=3.14159265;

inline int getint()
{
    char ch;int res;bool f;
    while (!isdigit(ch=getchar()) && ch!='-') {}
    if (ch=='-') f=false,res=0; else f=true,res=ch-'0';
    while (isdigit(ch=getchar())) res=res*10+ch-'0';
    return f?res:-res;
}

class RandomApple
{
    public:
        LL dp[500048],dp2[500048];int cnt[58][58];
        int n,k,sum=0;
        inline vector<double> theProbability(vector<string> hundred,vector<string> ten,vector<string> one)
        {
            int i,j;
            n=int(hundred.size());k=int(hundred[0].size());
            for (i=1;i<=n;i++)
            {
                cnt[i][0]=0;
                for (j=1;j<=k;j++)
                {
                    cnt[i][j]=(hundred[i-1][j-1]-'0')*100+(ten[i-1][j-1]-'0')*10+one[i-1][j-1]-'0';
                    sum+=cnt[i][j];cnt[i][0]+=cnt[i][j];
                }
            }
            memset(dp,0ll,sizeof(dp));
            dp[0]=1;
            for (i=1;i<=n;i++)
                for (j=sum;j>=0;j--)
                    if (j-cnt[i][0]>=0) dp[j]+=dp[j-cnt[i][0]];
            vector<double> res(k,0);
            for (i=1;i<=n;i++)
            {
                memset(dp2,0ll,sizeof(dp2));double p=0;
                for (j=0;j<=sum;j++)
                {
                    dp2[j]=dp[j];if (j>=cnt[i][0]) dp2[j]-=dp2[j-cnt[i][0]];
                    p+=double(dp2[j])/((1ll<<n)-1)/(j+cnt[i][0]);
                }
                for (j=0;j<=k-1;j++)
                    res[j]+=cnt[i][j+1]*p;
            }
            return res;
        }

};

/*---Debug Part---*/
/*
int main ()
{
    RandomApple A;
    vector<string> hh,tt,oo;
    int nn;
    while (scanf("%d",&nn)!=EOF)
    {
        string ins="";
        hh.clear();tt.clear();oo.clear();
        int i;
        for (i=1;i<=nn;i++) cin>>ins,hh.pb(ins);
        for (i=1;i<=nn;i++) cin>>ins,tt.pb(ins);
        for (i=1;i<=nn;i++) cin>>ins,oo.pb(ins);
        vector<double> res=A.theProbability(hh,tt,oo);
        for (i=0;i<int(res.size());i++) printf("%.10lf ",res[i]);
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}
*/