拉式变换性质

### 拉普拉斯变换的常用公式汇总 拉普拉斯变换是一种重要的数学工具,在工程学、物理学等领域广泛应用。以下是常用的拉普拉斯变换公式及其特性: #### 1. 定义 对于函数 \( f(t) \),其单边拉普拉斯变换定义为: \[ F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt, \quad s = \sigma + j\omega \] 其中,\( s \) 是复数变量[^2]。 --- #### 2. 常见函数的拉普拉斯变换 | 序号 | 时间域 \( f(t) \) | 频率域 \( F(s) \) | |------|-------------------------------------|-----------------------------------| | 1 | \( \delta(t) \) | \( 1 \) | | 2 | \( u(t) \) | \( \frac{1}{s}, \text{Re}(s)>0 \)[^3] | | 3 | \( t^n \), \( n \geq 0 \) | \( \frac{n!}{s^{n+1}}, \text{Re}(s)>0 \)[^4] | | 4 | \( e^{-at}u(t) \) | \( \frac{1}{s+a}, \text{Re}(s)>-\text{Re}(a) \) | | 5 | \( te^{-at}u(t) \) | \( \frac{1}{(s+a)^2}, \text{Re}(s)>-\text{Re}(a) \)[^4] | | 6 | \( \sin(bt)u(t) \) | \( \frac{b}{s^2+b^2}, \text{Re}(s)>0 \)[^3] | | 7 | \( \cos(bt)u(t) \) | \( \frac{s}{s^2+b^2}, \text{Re}(s)>0 \) | --- #### 3. 变换性质 以下是一些常见的拉普拉斯变换性质: - **线性性质** 如果 \( f_1(t) \leftrightarrow F_1(s) \) 和 \( f_2(t) \leftrightarrow F_2(s) \),则: \[ af_1(t)+bf_2(t) \leftrightarrow aF_1(s)+bF_2(s) \] - **时移定理** 如果 \( f(t) \leftrightarrow F(s) \),则: \[ f(t-a)u(t-a) \leftrightarrow e^{-as}F(s) \] - **频移定理** 如果 \( f(t) \leftrightarrow F(s) \),则: \[ e^{at}f(t) \leftrightarrow F(s-a) \] - **微分性质** 如果 \( f(t) \leftrightarrow F(s) \),则: \[ f'(t) \leftrightarrow sF(s)-f(0^-) \][^3] - **积分性质** 如果 \( f(t) \leftrightarrow F(s) \),则: \[ \int_{0}^{t} f(\tau)d\tau \leftrightarrow \frac{1}{s}F(s) \] --- #### 4. 特殊情况说明 需要注意的是,某些情况下可能无法直接通过查表获得逆变换的结果。此时可以利用部分分式分解法或其他方法求解反演公式。 ```python from sympy import symbols, laplace_transform, exp, sin, cos # 符号定义 t, s, a, b = symbols('t s a b') # 示例计算 laplace_exp = laplace_transform(exp(-a*t), t, s) laplace_sin = laplace_transform(sin(b*t), t, s) print(laplace_exp) print(laplace_sin) ``` 上述代码展示了如何使用 `sympy` 计算常见函数的拉普拉斯变换。 ---
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