自动驾驶之车辆运动学与动力学模型

最新推荐文章于 2025-01-21 22:22:58 发布

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本文详细介绍了车辆运动学模型和动力学模型的构建过程，包括车辆转向运动模型、动力学约束、横摆角速度计算，以及基于小角度假设下的动力学模型简化。探讨了轮胎模型，特别是Pacejka的魔术公式在描述轮胎纵向力、侧向力和回正力矩方面的作用。

1. 车辆运动学模型：

车辆转向运动模型如图 $2.1$ 所示。

在惯性坐标系 $O X Y$ 下,

$\left(X_{r}, Y_{r}\right)$ 和 $\left(X_{f}, Y_{f}\right)$ 分別为车辆后轴和前轴轴心的坐标;
$\varphi$ 为车体的横摆角(航向角);
$\delta_{\mathrm{f}}$ 为前轮偏角;
$v_{\mathrm{r}}$ 为车辆后轴中心速度;
$v_{\mathrm{f}}$ 为车辆前轴中心速度;
$l$ 为轴距(注意,变量下标 $f$ 代表 front—前, $r$ 代表rear—后,下同);

图2.2原图：

便于理解：

图2.2所示为车辆转向过程示意图, $R$ 为后轮转向半径, $P$ 为车辆的瞬时转动中心, $M$ 为车辆后轴轴心, $N$ 为前轴轴心。此处假设转向过程中车辆质心侧偏角保持不变,即车辆瞬时转向半径与道路曲率半径相同。

在后轴行驶轴心 $\left(X_{r}, Y_{r}\right)$ 处，速度为：
$v_{r}=\dot{X}_{r} \cos \varphi+\dot{Y}_{r} \sin \varphi\tag{1}$
前后轴的运动学约束为：
$\left\{\begin{array}{l} \dot{X}_{f} \sin \left(\varphi+\delta_{f}\right)-\dot{Y}_{f} \cos \left(\varphi+\delta_{f}\right)=0 \\ \dot{X}_{r} \sin \varphi-\dot{Y}_{r} \cos \varphi=0 \end{array}\right.\tag{2}$
由式(1)和式(2)联合可得：
$\left\{\begin{array}{l} \dot{X}_{r}=v_{r} \cos \varphi \\ \dot{Y}_{r}=v_{r} \sin \varphi \end{array}\right.\tag{3}$

式3推导：将式1等式两边同时乘以 $\cos \varphi$ ，然后将式2代入可得式3

根据前后轮的几何关系可得：
$\left\{\begin{array}{l} X_{\mathrm{f}}=X_{r}+l \cos \varphi \\ Y_{\mathrm{f}}=Y_{r}+l \sin \varphi \end{array}\right.\tag{4}$
根据式2，式3和式4可得车辆横摆角速度 $\omega$ 为：
$\omega=\frac{v_{r}}{l} \tan \delta_{f}\tag{5}$

式5推导：对式4左右求导：
$\begin{array}{l} \left.\dot{X}_{f}=\dot{X}_{r}+l (-\sin \varphi) \cdot \dot{\varphi}=V_{r} \cos \varphi+l (-\sin \varphi\right) \cdot \dot{\varphi} \\ \dot{Y}_{f}=\dot{Y}_{r}+l \operatorname{cos} \varphi \cdot \dot{\varphi}=V_{r} \cdot \sin \varphi+l {\cos \varphi} \cdot \dot{\varphi} \end{array}$
所以：
$\begin{aligned} &\left(V_{r} \cos \varphi-l \sin \varphi \cdot \dot{\varphi}\right) \sin \left(\varphi+\delta_{f}\right)-\left(V_{r} \cdot \sin \varphi+l\operatorname{ \cos} \varphi \cdot \dot{\varphi}\right) \cdot \cos (\varphi+\delta_{f})=0\\ &\begin{aligned} \left.V_{r} \cos \varphi \sin (\varphi+\delta_{f})-V_{r} \sin \varphi (\cos \varphi+\delta_{f}\right)-l \sin \varphi \cdot \dot{\varphi} \sin (\varphi+\delta_{f})-l \cos \varphi \cdot \dot{\varphi} \cos( \varphi+\delta_{f})=0 \end{aligned} \end{aligned}$
积化和差公式可得：
$\begin{aligned} &V_{r} \cdot \sin \delta_{f}=l \cdot \dot{\varphi}\cdot{\cos \delta_{f}}\\ &V_{r} \cdot \tan \delta_{f}=l \cdot \dot{\varphi}\\ &\frac{V_{x}}{l} \cdot \tan \delta_{f}=\omega \end{aligned}$

同时由和车速可得到转向半径和前轮偏角：
$\left\{\begin{array}{l} R=v_{\mathrm{r}} / \omega \\ \delta_{ {f}}=\arctan (l / R) \end{array}\right.\tag{6}$
由式(3)和式(5)可得到车辆运动学模型为:
$\left[\begin{array}{c} \dot{X}_{\mathrm{r}} \\ \dot{Y}_{\mathrm{r}} \\ \dot{\varphi} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} \cos \varphi \\ \sin \varphi \\ \tan \delta_{ {f}} / l \end{array}\right] v_{\mathrm{r}}\tag{7}$