多项式轨迹--五次多项式轨迹

#多项式轨迹–五次多项式

1.5 Polynomial of degree five

利用三次多项式，根据过$q_0,q_1,\dots ,q_n$确定的轨迹的特征是位置和速度连续，但是加速度不连续（参见上一篇博客轨迹规划–三次多项式轨迹）。尽管三次多项式轨迹确定的轨迹有一定“平滑”，但是对于一些应用的动力学和惯性载荷会产生一些不期待的影响。为了获得一个加速度连续的轨迹，位置和速度需要合适的初始和终止条件，也需要合适的初始和终止加速度值。这样共有六个边界条件，因此需要采用五次多项式：
$$q(t)=q_0+a_1(t-t_0)+a_2(t-t_0{)}^2+a_3(t-t_0{)}^3+a_4(t-t_0{)}^4+a_5(t-t_0{)}^5\text{\hspace{1em}(1-24)}$$
根据条件
q ( t 0 ) = q 0 , q ( t 1 ) = q 1 q ˙ ( t 0 ) = v 0 , q ˙ ( t 1 ) = v 1 q ¨ ( t 0 ) = a 0 , q ¨ ( t 1 ) = a 1 . \begin{matrix} q(t_0)=q_0, &q(t_1)=q_1 \\ \dot{q}(t_0)=v_0, & \dot{q}(t_1)=v_1 \\ \ddot{q}(t_0)=\text a_0, & \ddot{q}(t_1)=\text a_1. \end{matrix} q(t0​)=q0​,q˙​(t