数论概论读书笔记 3.勾股数组与单位圆

勾股数组与单位圆

考虑$a^2+b^2=c^2$，得到$(\frac{a}{c})^2+(\frac{b}{c})^2=1$

考虑几何角度，也就是单位圆，取（-1,0）为定点，斜率为任意有理数m的直线

则直线L的方程为

$$L: y=m(x+1)$$
联立圆的方程，可以解得另一个点的坐标为
$$(\frac{1-m^2}{1+m^2},\frac{2m}{1+m^2})$$
这样通过m的所有可能取值，上述过程就生成方程$x^2+y^2=1$的所有有理数解。

定理3.1. 圆$x^2+y^2=1$上的坐标是有理数的点都可以由公式$(x,y)=(\frac{1-m^2}{1+m^2},\frac{2m}{1+m^2})$得到，其中m取有理数值（点$(-1,0)$除外 ）

如果将有理数m写成分数形式，即$\frac{v}{u}$，则上面公式变成$(x,y)=(\frac{u^2-v^2}{u^2+v^2},\frac{2uv}{u^2+v^2})$，消去分母就给出勾股数组

$$(a,b,c)=(u^2-v^2,2uv,u^2+v^2)$$
这是描述所有勾股数组的另一种方法

通过令$u=\frac{s+t}{2}与v=\frac{s-t}{2}$可与第二章的公式相联系。