勾股数组与单位圆

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原创最新推荐文章于 2026-04-02 03:01:33 发布 898 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

14、格罗布纳基、机器人手臂运动与勾股数的研究本文探讨了格罗布纳基在机器人手臂运动中的应用，包括正运动学和逆运动学问题的求解，同时详细研究了勾股数的定义、性质、计算方法以及原始勾股数的推导。通过公式推导、具体示例和代码实现，展示了如何系统地计算勾股数并验证其有效性，为机器人运动控制和数论研究提供了实用工具。阅读详情

探讨圆和勾股数的关系：

首先勾股数组等式： $a^2+b^2=c^2$ . 两边同除以 $c^2$ 得到: $\left ( \frac{a}{c} \right )^2+\left ( \frac{b}{c} \right )^2=1$ ,所以 $x^2+y^2=1$ 关于有理数对 $(\frac{a}{c},\frac{b}{c})$ 的方程。

方程 $x^2+y^2=1$ 为中心点为(0, 0)半径为1的圆C。

设直线穿过(-1, 0)点与圆相交于两点。则对于直线方程为：

y=mx+b,由(-1, 0)点得b， L：y=m(x+1) (点斜式)

为了理解下面的计算，我们描述一元二次方程求根公式以及韦达定理：

给定一元二次方程一般式： $ax^2+bx+c=0,(a, b, c \in R,a\neq 0 ).$

为了降次，使用完全平方公式 $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2.$ 进行配方。

$ax^2+bx+c=0\Rightarrow \frac{ax^2}{a}+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a}=0$ ,则 $x^2+\frac{bx}{a}=-\frac{c}{a}$ .

根据完全平方公式进行配方： $x^2+\frac{bx}{a}+\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\Rightarrow x+\frac{b}{2a}=\pm \sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}$ ,

$x=-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Rightarrow x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ .

韦达定理： $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a},x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$

由上面直线L和圆C： $x^2+y^2=1,y=m(x+1).$ 将直线方程代入得： $(m^2+1)x^2+2m^2x+(m^2-1)=0.$

因为一个根是(-1, 0),所以根据韦达定理另一个根为： $\left ( \frac{1-m^2}{1+m^2},\frac{2m}{1+m^2}\right ).$

若这个点为有理数解 $(x_{1},y_{1})$ ，则过两点的斜率也必为有理数。即取m的所有可能值就可得到圆C所有有理数解(点(-1,0)除外，否则斜率为无穷），上述结果可概述为下面的定理：

圆 $x^2+y^2=1$ 上的坐标是有理数的点都可由公式 $(x, y)=\left ( \frac{1-m^2}{1+m^2},\frac{2m}{1+m^2} \right )$ 得到，其中m取有理数值。（点(-1,0)除外，这是当 $m\rightarrow \infty$ 时的极限值。）

有理数的定义：给定两个整数p、q,所有能表示为 $\frac{p}{q},(q\neq 0)$ 形式的数。（非严谨定义）

$(x, y)=\left ( \frac{1-m^2}{1+m^2},\frac{2m}{1+m^2} \right )$ 中的直线斜率m可以转化为 $\frac{v}{u}$ 的形式，所以将 $\frac{v}{u}$ 代入化简得到 $(x, y)=\left ( \frac{u^2-v^2}{u^2+v^2},\frac{2uv}{u^2+v^2} \right )$ ,由于 $(x, y)$ 对应勾股数组中 $(\frac{a}{c},\frac{b}{c})$ ,所以 $c=u^2+v^2$ ,即给出勾股数组: