勾股数组与单位圆

最新推荐文章于 2020-09-13 22:27:59 发布

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#勾股数组与单位圆 #一元二次方程求根公式 #韦达定理 #数论 #勾股数组

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博客探讨圆和勾股数的关系，将勾股数组等式转化为关于有理数对的方程，对应中心点为(0, 0)半径为1的圆。通过直线与圆相交，结合一元二次方程求根公式和韦达定理，得出圆上坐标为有理数的点（除(-1,0)）可由公式得到，还给出勾股数组相关结论。

探讨圆和勾股数的关系：

首先勾股数组等式： $a^2+b^2=c^2$ . 两边同除以 $c^2$ 得到: $\left ( \frac{a}{c} \right )^2+\left ( \frac{b}{c} \right )^2=1$ ,所以 $x^2+y^2=1$ 关于有理数对 $(\frac{a}{c},\frac{b}{c})$ 的方程。

方程 $x^2+y^2=1$ 为中心点为(0, 0)半径为1的圆C。

设直线穿过(-1, 0)点与圆相交于两点。则对于直线方程为：

y=mx+b,由(-1, 0)点得b， L：y=m(x+1) (点斜式)

为了理解下面的计算，我们描述一元二次方程求根公式以及韦达定理：

给定一元二次方程一般式： $ax^2+bx+c=0,(a, b, c \in R,a\neq 0 ).$

为了降次，使用完全平方公式 $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2.$ 进行配方。

$ax^2+bx+c=0\Rightarrow \frac{ax^2}{a}+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a}=0$ ,则 $x^2+\frac{bx}{a}=-\frac{c}{a}$ .

根据完全平方公式进行配方： $x^2+\frac{bx}{a}+\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\Rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\Rightarrow x+\frac{b}{2a}=\pm \sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}$ ,

$x=-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Rightarrow x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ .

韦达定理： $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a},x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$

由上面直线L和圆C： $x^2+y^2=1,y=m(x+1).$ 将直线方程代入得： $(m^2+1)x^2+2m^2x+(m^2-1)=0.$

因为一个根是(-1, 0),所以根据韦达定理另一个根为： $\left ( \frac{1-m^2}{1+m^2},\frac{2m}{1+m^2}\right ).$

若这个点为有理数解 $(x_{1},y_{1})$ ，则过两点的斜率也必为有理数。即取m的所有可能值就可得到圆C所有有理数解(点(-1,0)除外，否则斜率为无穷），上述结果可概述为下面的定理：

圆 $x^2+y^2=1$ 上的坐标是有理数的点都可由公式 $(x, y)=\left ( \frac{1-m^2}{1+m^2},\frac{2m}{1+m^2} \right )$ 得到，其中m取有理数值。（点(-1,0)除外，这是当 $m\rightarrow \infty$ 时的极限值。）

有理数的定义：给定两个整数p、q,所有能表示为 $\frac{p}{q},(q\neq 0)$ 形式的数。（非严谨定义）

$(x, y)=\left ( \frac{1-m^2}{1+m^2},\frac{2m}{1+m^2} \right )$ 中的直线斜率m可以转化为 $\frac{v}{u}$ 的形式，所以将 $\frac{v}{u}$ 代入化简得到 $(x, y)=\left ( \frac{u^2-v^2}{u^2+v^2},\frac{2uv}{u^2+v^2} \right )$ ,由于 $(x, y)$ 对应勾股数组中 $(\frac{a}{c},\frac{b}{c})$ ,所以 $c=u^2+v^2$ ,即给出勾股数组: