数论概论读书笔记 24.哪些素数可表成两个平方数之和_素数被分为两个完全平方数之和-优快云博客

博客探讨哪些素数可表成两个平方数之和，给出判定定理，即素数 p 是两平方数之和的充要条件是 p≡1 (mod 4) 或 p = 2。介绍证明充要性的两方面思路，提及费马降价法，还阐述构造费马降价法的过程及求解关键步骤，如求解 x2≡−1 (mod p) 的方法。

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哪些素数可表成两个平方数之和

定理设 $p$ 是素数，则 $p$ 是两平方数之和的充要条件是 $p\equiv 1 \ (mod \ 4)$ 或 $p=2$

这里有两个断言

断言A $p$ 是两平方数之和
断言B $p\equiv 1\ (mod \ 4)$

显然，要证明充要性，有两方面

1.若 $p$ 是两平方数之和，则 $-a^2\equiv b^2 (mod \ p)$ ，接着对两边取勒让德符号

(- 1 p) (a p) 2 = (b p) 2 (- 1 p) = 1

$\left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{a}{p}\right)^2=\left(\frac{b}{p}\right)^2 \\ \left(\frac{-1}{p}\right)=1$
于是由二次互反律知，

pp $p$ 模4余1。证毕

2.我们从 $A^2+B^2=Mp$ 开始，如果这里 $M=1$ 则证明完毕。所以我们考虑 $M\ge 2$

费马的想法是，我们用现有的 $A,B,M$ ，要是能构造出 $a^2+b^2=mp \ 且\ m\le M-1$

则迭代下去， $m=1$ 时就完成了证明。这种方法称为费马降价法。

但是费马没有给出具体构造的方法。

在说具体的构造方法之前，先看一个恒等式

(u 2 + v 2) (A 2 + B 2) = (u A + v B) 2 + (v A - u B) 2

$(u^2+v^2)(A^2+B^2)=(uA+vB)^2+(vA-uB)^2$
这个式子很好证明。

下面我们考虑怎么构造费马降价法，过程如下：

重复这个过程直到 $r=1$ ，可以证明每迭代一次， $p$ 的系数至少减半。即迭代次数为 $log$ 次

为了说明上述 $Procedure$ 的正确性，我们要证明5个断言的正确性。

找出数 $A,B$ 使得 $A^2+B^2=Mp$ ，且 $M<p$ 。为此，取同余式 $x^2\equiv -1\ (mod \ p)$ 的一个解，由二次互反律知，当 $p\%4=1$ 时，必定有解 $x$ 。所以 $A=x,B=1$ 具有性质 $p\ | \ A^2+B^2$ ，而且 $M=\frac{A^2+B^2}{p}\le \frac{(p-1)^2+1^2}{p}<p$ 。

在降阶程序的第二步，我们选取 $u,v$ 使其满足

u \equiv A (m o d M), v \equiv B (m o d M), - 1 2 M \leq u, v \leq 1 2 M

$u\equiv A (mod \ M),\ v\equiv B(mod \ M), \ -\frac{1}{2}M\le u,v\le \frac{1}{2}M$
于是有

u 2 + v 2 \equiv A 2 + B 2 \equiv 0 (m o d M)

$u^2+v^2\equiv A^2+B^2\equiv 0 \quad (mod \ M )$
设

u2+v2=rMu2+v2=rM $u^2+v^2=rM$ ，其余四个断言如下：

$r\ge1$
$r<M$
$uA+vB$ 能被 $M$ 整除
$vA-uB$ 能被 $M$ 整除

这四个断言比较容易证明。这里不再给出。

上面求解过程中关键的一步使求解 $x^2\equiv -1 \ (mod \ p)$ ，可以直接使用二次剩余的板子，也可以使用随机算法。

即随机一个 $a∈[1,p-1]$ ，求解 $b\equiv a^{(p-1)/4}\ (mod\ p)$ ，可知 $b^2\equiv (\frac{a}{p}) \ (mod\ p)$ ，即若选取的 $a$ 不是 $p$ 的二次剩余（有一半的概率），则求得的 $b$ 即为解 $x$ 。

由定理知有两个解 $x_1,x_2$ ，且 $x_1+x_2=p$ 。

//求解x^2 \equiv -1 (mod p)
ll ran(ll n){
    //要保证n%4=1
    assert(n%4==1);
    srand(time(0));
    for(;;){
        ll a=rand()*rand()%(n-1)+1;
        ll b=fast_exp(a,(n-1)/4,n);
        if(b*b%n==n-1) return b<=(n-1)/2 ? b:n-b;
    }
}