数论概论读书笔记 20.模p平方剩余

模p平方剩余

观察上面这张表，可以发现上下的对称性，字符化描述为：

$$p^2+b^2-2pb=(p-b)^2\equiv b^2 \quad (mod \ p)$$
因此，若要列出模$p$的所有（非零）平方剩余，只需要计算出其中的一半：
$$1^2\ (mod \ p),2^2\ (mod \ p),...,(\frac{p-1}{2})^2 \ (mod \ p)$$
我们的目的是发现模式，以便用来区分模$p$的平方剩余与非平方剩余。

最后将会导出整个数论中最漂亮的定理之一—二次互反律

一些定义：

• 与一个平方数模$p$同余的非零数称为模$p$的二次剩余
• 不与任何一个平方数模$p$同余的数称为模$p$的二次非剩余
• 将二次剩余简记为$QR$，二次非剩余简记为$NR$
  • 与0模$p$同余的数既不是$QR$，也不是$NR$

  定理 设$p$为一个奇素数，则恰有$\frac{p-1}{2}$个模$p$的二次剩余，且恰有$\frac{p-1}{2}$个模$p$的二次非剩余。

  由前面的结论知道，只要证明$1^2,2^2,...,(\frac{p-1}{2})^2 \ mod \ p$是两两不同的。

  假设$b_1,b_2$是$[1,\frac{p-1}{2}]$之间的数

  且满足$b_1^2\equiv b_2^2\ (mod \ p)$

  我们要证明$b_1=b_2$

  由于$b_1^2\equiv b_2^2\ (mod \ p)$，得到$p\ | \ (b_1^2-b_2^2)=（b_1-b_2)(b_1+b_2)$

  然而$b1+b2$显然不能被$p$整除

  所以$b_1-b_2=0$

  证毕。

  QR与NR有什么关系呢？

  一个不很难想到的结论是$QR*QR=QR$

  因为平方数乘平方数仍为平方数。所以两个二次剩余乘积模$p$仍为二次剩余。

  那么其他的组合呢？

  经过一些小的表观察，可以得到：
  

  $$QR*QR=QR ,\quad QR*NR=NR ,\quad NR*NR=NR$$
  在验证后面两个关系之前，我们先来看下原根与二次剩余的关系。

  设$g$是模$p$的一个原根，辣么$g$的幂：
  

  $$g,g^2,g^3,...,g^{p-1}$$
  可以给出$p$的所有非零剩余。即$[1,p-1]$。其中一半是二次剩余，一半是二次非剩余。

  如何确定哪些是$QR$，哪些是$NR$呢？

  显然$g$的每个偶次幂是一个$QR$，即$g^{2k}$。

  注意到在(4)中恰有一半是偶次幂，所以$g$的偶次幂给出了所有的二次剩余。而剩下的奇次幂必定是二次非剩余。

  同时，也可以用指标来描述，二次剩余是指标$I(a)$为偶数的那些数$a$

  二次非剩余是指标$I(a)$为奇数的那些数$a$

  定理 二次剩余乘法法则—版本1

  设$p$为素数，则

  • 两个模$p$的二次剩余的积是二次剩余
  • 二次剩余与二次非剩余的积是二次非剩余
  • 两个二次非剩余的积是二次剩余

  即
  

  $$QR*QR=QR ,\quad QR*NR=NR ,\quad NR*NR=NR$$
  证明 对与$p$互素的任意两个数$a,b$，由指标的乘积法则知$I(ab)\equiv I(a)+I(b) \quad mod \ p-1$

  从而有$I(ab)\equiv I(a)+I(b) \quad mod \ 2$

  后面的证明就很自然了。可以讨论$(5)$中的三种情况。

  对于$(5)$式，你肯定会想到$+1,-1$这种

  许多年前，勒让德也想到了，而且还搞了点东西

  $a$模$p$的勒让德符号是
  

  $$\left(\frac{a}{p}\right)=\left\{\begin{matrix} 1 \quad 若a是模p的二次剩余 \\ -1 \quad 若a是模p的二次非剩余 \end{matrix}\right.$$

  定理 二次剩余乘法法则—版本2（使用勒让德符号）

  设$p$为素数，则
  

  $$\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)=\left(\frac{ab}{p}\right)$$
  勒让德符号使计算可以更直观，比如
  
  $$\left(\frac{75}{97}\right)=\left(\frac{3\cdot5\cdot5}{97}\right)=\left(\frac{3}{97}\right)\left(\frac{5}{97}\right)\left(\frac{5}{97}\right)$$
  而
  $$\left(\frac{5}{97}\right)\left(\frac{5}{97}\right)=1 \quad （总是如此）$$
  所以
  $$\left(\frac{75}{97}\right)=\left(\frac{3}{97}\right)=1 \quad （3是QR）$$