数论概论读书笔记 22.二次互反律

二次互反律

对于一个给定的数$a$，我们要确定哪些素数$p$以$a$为二次剩余。在前一章中解决了$a=-1$和$a=2$时的问题。

这个时候我们可以通过查看$p\%m$的一些结果得出$a$是否是$QR$或$NR$，且$m$较小，为$4$和$8$

下面要解决的是其他$a$值的勒让德符号$(\frac{a}{p})$的计算问题。

例如，假设要计算$(\frac{70}{p})$，由前面的二次剩余乘法法则知，$(\frac{70}{p})=(\frac{2}{p})(\frac{5}{p})(\frac{7}{p})$

怎么计算$(\frac{5}{p})$和$(\frac{7}{p})$呢？

概括来说，怎么计算$(\frac{q}{p})$呢？其中$q$也为素数。因为由乘法法则知，素数可以解决后，整数都可以解决。（这是素数的精美之处）

通过打表观察后（此处略去500字……）

可以得到对于一些$p,q$有$\left( \frac{q}{p} \right)=\left( \frac{p}{q} \right)$

但有些不是，但不是的竟然都是$\left( \frac{q}{p} \right)=-\left( \frac{p}{q} \right)$

这其中有没有模式呢？

有的。

定理 二次互反律 设$p,q$是不同的奇素数，则

证明 前两部分已经证明，最后的部分见下一节

高斯（$1777\sim 1855$）19岁的时候，独立发现了二次互反律，且其一生中给出了7种不同的证明方法

19世纪，数学家们又提出了三次和四次互反律

再后来这些都包括在类域论中。

在20世纪60年代和70年代，大批数学家提出了对类域论推广的一些猜想。今天称之为朗兰兹($Langlands$)纲领。

二次互反律不仅很美，也很实用。

它使我们可以翻转勒让德符号$\left(\frac{q}{p}\right)$，用$\pm \left(\frac{p}{q}\right)$来替代它，然后可以模$q$化简$p$，并不断重复此过程。

这样会使$p,q$急剧下降。

下面是计算的一个例子：

因此，55是模179的二次非剩余。

当然，也可以应用等式$\left(\frac{p}{q}\right)=\left(\frac{p-q}{q}\right)$。

二次互反律的时间复杂度大约等于$O(log\ p)$

所以，计算勒让德符号的困难之处不是二次互反律的使用，而是对数字的因式分解。这一块时间复杂度是$O(\sqrt{n})$

但是！ 你可能会问，如果不分解，继续做下去呗，这样答案是否正确？

正确！ 也就是说对于$\left(\frac{q}{p}\right)$，之前是$p,q$为素数，现在是对任意的整数$a$和正奇数$b$，可以给勒让德符号$\left(\frac{a}{b}\right)$指定一个值，反复使用广义二次互反定律来计算结果。这种广义勒让德符号常称作雅克比符号。

定理 广义二次互反律 设$a,b$为正奇数，则

让人惊奇的是，其可以得到正确的结果！

需要注意的是，我们只允许当$a$是正奇数的时候翻转$a,b$，这一点极为重要。

当$a$是偶数时，可以分解出因子2；当$a$是负数时，可以分解出因子$-1$

下面是一个计算的例子：

结果为1，所以同余式$x^2\equiv 37603\ (mod \ 48611)$有解。

但上面的方法并不能指出解具体是多少。

广义二次互反律第一部分的证明

是正奇数。而不是狭义的素数。