数论概论 第三章 勾股数组与单位圆

      本章讨论的是勾股数组与单位圆的关系，其实在这之前我一直没有考虑过关于勾股数的公式可以通过几何形式来推出，甚至没有想过勾股数可以用某种公式来表示，这就是平常缺少探索精神的表现吧。

      如何将勾股数组和单位圆扯上关系呢？将a^2+b^2=c^2变形，得到(a/c)^2+(b/c)^2=1，如果把a/c看成x，b/c看成y，那么显然有x^2+y^2=1，这不就是单位圆的方程么。

      那么如何通过单位圆来求勾股数组呢？试想，如果在圆上可以取到一点他的横坐标和纵坐标都是有理数，那么就可以把a，b，c都求出来了。这时候，可以取圆上一点A(-1,0)，将过这一点的直线和圆联立，如果得到另一个解是有理数，那么这个解就可以组成一个勾股数组。

如图，A为(-1,0)，如果B(x,y)中x，y为有理数，那么B的坐标就能得出一个勾股数组。

 

那么对两个方程进行联立，设直线的斜率为m，则有如下推导过程：

其中将式子除以x+1是因为直线和圆的一个交点就是(-1,0)。

这种证明方法非常的巧妙~（ps：怎么会有种预感这种证明方法会放到今年的高考试卷中？？假的吧……）

 

习题3.1

关于三元组(u^2-v^2,2uv,u^2+v^2)的性质的讨论

(a)如果u和v有公因数，假设d|u且d|v，那么显然会有d|a,d|b,d|c，所以(a,b,c)不是本原勾股数组。

(b)是否存在u和v没有公因数，但是该三元组不是本原的。如果要让d|a,d|b,d|c，又要让d不被u或v整除，那么只有让d=2，v和u是奇数，那么显然a和c是偶数，2uv也是偶数，例如(6,8,10),此时u=3,v=1。

(cde)讨论关于u和v满足什么条件的时候(a,b,c)是本原的，打表可以发现，当u和v互质且u和v一奇一偶时，(a,b,c)是本原的。证明如下：

 

习题3.2

(a)过(1,1)点的直线描述圆x^2+y^2=2上所有坐标为有理数的点。

过程略，与正文中推导通项的方法一样，直接上答案，不知道正确与否，手动算的：

(b)如果用相同的方法求圆x^2+y^2=3上所有坐标为有理数的点，那么会很悲催的发现没有一个坐标为有理数值点能够让我们做基准点，也就是没能找到能起到像x^2+y^2=2中的点(1,1)，x^2+y^2=1中的点(-1,0)这种作用的点。

 

习题3.3

求双曲线x^2-y^2=1上坐标为有理数的点的公式。

很显然取点(-1,0)做法同上，直接给答案：

很有趣，用双曲线的方法也能推出勾股数组的通项公式，这是因为把公式变形为(c/a)^2-(b/a)^2=1，就可以用双曲线求解了。得到这个答案后将分母约去，就可以求出a了。

 

习题3.4

但是为神马能一眼看出第三个解是有理数呢？求解。