数论概论 第二章 勾股数组

      本章主要讨论的是勾股数组，也就是关于满足a^2+b^2=c^2的三元组（a,b,c）的问题。

      其实，对于勾股数组的个数进行讨论并没有多大意义，因为已知a，b，c为勾股数组，那么显然有da，db，dc(d>0)也为勾股数组，因为(da)^2+(db)^2=d^2(a^+b^2)=d^2c^2=(dc)^2。

      因此着重研究的是关于本原勾股数组的问题，本原勾股数组即为a，b，c为勾股数组且满足a，b，c的最大公约数为1。

      对于本原勾股数组，显然a和b奇偶性不同只需要将a=2x+1,b=2y+1,c=2z代入a^2+b^2=c^2即可推出有公约数2。由于a和b奇偶性不同，那么显然c为奇数。

      那么最关心的是如何求出所有的本原勾股数组。

      如果将公式转化一下，得到a^2=c^2-b^2=(c+b)(c-b)，那么显然有，c+b和c-b没有公因子，用反证法证明：

      如果d|(c+b)且d|(c-b)，那么显然有d|((c+b)+(c-b))和d|((c+b)-(c-b))即d|2b且d|2c，因为在定义本原勾股数组的时候已经有了b和c的最大公约数是1的约定(虽然定义是a，b，c最大公约数是1，但是如果gcd(b,c)=d>1，显然有d|c不满足定义)。所以d要么为1，要么为2。但是如果d=2时，那么显然a，b，c均为偶数，不满足定义，那么d只能为1，证明了c+b和c-b没有公因子。

      因此，如果将a^2进行质因数分解，那么会有a=p1^t1*p2^t2*p3^t3...pn^tn，其中指数t1,t2,t3...tn为偶数（因为这样才能保证a^2开根号后为整数），又因为c+b和c-b没有公因数，所以c+b和c-b各取a分解后的其中某一些pk^tk，因此，c+b和c-b均为平方数。那么假设c+b=s^2,c-b=t^2，则有c=(s^2+t^2)/2,b=(s^2-t^2)/2，a=st，因此形如(st,(s^2-t^2)/2,(s^2+t^2)/2)的三元组为本原勾股数组。(其中s和t都是奇数，因为如果s和t中有且只有一个为奇数，那么显然(s^2+t^2)/2不会是整数，而如果两个数都是偶数，那么显然该三元组有公因子2，与本原勾股数组定义矛盾。)

接下来谈谈勾股定理的证明（书上第二章并没有对勾股定理的证明进行讨论）

在 书《proofs without words》 中有如下几种证明方法证明勾股定理

直接上图：

1.这个是周髀算经里的证明方法

2.古印度数学家婆什迦罗也给出了一种证明方法

3.根据欧几里得的证明方法可得到如下证法

4.英国思维游戏之父也给出了一种证明方法

5.有趣的是，书里还收录了美国第20任总统加菲尔德的一种证明方法

虽然用图形有时候并不能一眼给出十分严谨的代数证明，但是，它具有很强的直观性。据说在Loomis的《Pythagoras Proposition》中，给出了367种勾股定理的证明方式，但是很可惜，我在网上貌似没有找到这本书，但是，在 这里 给出了近100种证明方法。

习题2.1

(a)关于a或b必是3的倍数的证明。

照例用反证法。

假设a和b都不是3的倍数，那么由于a和b的奇偶性不同，因此我想的方法是分成4种情况讨论

首先由于a和b具有互换性，因此假定a为奇数，b为偶数。

情况1：a mod 3=1,b mod 3=1

那么a=6x+1,b=6y+4,c=6z+5，代入a^2+b^2=c^2后可得

36x^2+12x+1+36y^2+48y+16=36z^2+60z+25

整理后可得3(12x^2+4x+12y^2+16y-12z^2-20z)=8，3不是8的因子，所以显然找不到整数x，y使得该式成立。

情况2：a mod 3=1,b mod 3=2

那么有a=6x+1,b=6y+2,c=6y+5,代入后可得

36x^2+12x+1+26y^2+24y+4=26y^2+60z+25

整理后常数项20也不是3的因子，所以找不到整数x，y

同理，可证明情况3：a mod 3=2,b mod 3=1和情况4：a mod 3=2,b mod 3=2中找不到x，y成立，因此假设不成立，所以证明了a或者b必定是3的倍数。

另外，可以发现，只要a和b不是3的倍数，那么显然会存在c^2 mod 3=2，这是因为1^2 mod 3=2^2 mod 3=1，因此，不管a和b模3得到的数是1还是2，c^2模3后一定是2。那么，对于形如3k+2的数显然不是平方数。（因为x^2=(x mod 3)^2 (mod 3)）那么根据1^2 mod 3=2^2 mod 3=1，得到不存在平方数形如3k+2，因此可以得出如果a和b都不是3的倍数，那么c^2不是平方数，问题得证。

(b)关于a或b或c是5的倍数的猜测及证明

观察了很多组本原勾股数组，猜测得a或b或c是5的倍数。

用上一题的枚举加反证法，也可以证明出这个结论，但是上题有个不用枚举就能得出结果的方法，这题有么？

用上一题的第二种方法，可以得出t^2 mod 5=1或4，用1或4组合相加，可以得出c^2 mod 5=2或4或0，就拿0来说，存在c^2 mod 5=0的平方数，所以上题的第二种方法在这里行不通。是否有更简便的方法？求指点。

习题2.2

若d|m和d|n，则d|(m-n)且d|(m+n)的证明。

很显然有m=ad,n=bd，则m-n=d(a-b)，m+n=d(a+b)，显然能够被d整除。

习题2.3

关于哪些数可以出现在本原勾股数组中的问题。

打表大概的猜想是这样的，除了1以外的奇数都可以出现在本原勾股数组中，偶数除了形如4n+2以外也都能出现在本原勾股数组中，这是不完全归纳，因为不排除a很小，b、c很大的情况就不在我打表的范围之内，我设置a=200，b=c=5000的结果，观察前100个数是这样的。
先研究奇数情况，打表观察奇数在a，b，c三个位置出现的情况（在这里假定a<b）,可以惊奇的发现，位置a可以为100以内所有除了1以外的奇数，而且当a=2k+1时总能组成b和c相差1的本原勾股数组(a,b,c)。我们假设a=2k+1，那么会有b=2k(k+1),c=2k(k+1)+1。也就证明了除了1外的奇数都可以出现在本原勾股数组(a,b,c)中，而且，都可以出现在a中。

考虑偶数的情况，上面说了，据不完全归纳，4n+2以外的数都可以出现在本原勾股数组中，先看a形如4n的情况，通过打表可以看出貌似当a=4n的时候都有b和c相差2的情况。假设a=4k，则会出现b=4k^2-1,c=4k^2+1的情况。也就说明了4的倍数都会出现在本原勾股数组中。试着证明下形如4n+2的数不会出现在本原勾股数组中。由于给出了勾股数组的表示形式(st,(s^2-t^2)/2,(s^2+t^2)/2)，因此可以得出st为奇数，即4n+2=(s^2-t^2)/2，变形后可得(s+t)(s-t)=4(2n+1)，考虑如果s+t和s-t一奇一偶，那么显然s和t不是整数，那么由于有系数4，所以s+t和s-t只可能是两个偶数，也就是说s+t=2(2n+1),s-t=2，可以得出s=2n+2，与定义中s为奇数矛盾，因此4n+2不可能出现在本原勾股数组中。

综上所述，奇数和4的倍数可出现在本原勾股数组中，而形如4n+2的偶数不可能出现在本原勾股数组中。

习题2.4

关于相同c值的本原勾股数组。

通过打表是可以找出相同c值的两个本原勾股数组，也可以找出有相同c值的4个，但是找不到三个，是没有三个的还是存在但是c太大没有找到？在此求解。还有个问题，如何把具有相同c值的多个本原勾股数组的所有c值求到，打表后并没有发现什么明显的规律，但是显然需要满足存在多组奇数<p1,p2>满足p1^2+p2^2的值相同。但是具有这种特征的p1^2+p2^2的值是否有满足规律？求解。

习题2.5

关于三角数和本原勾股数组间的关系

b=4T1:(3,4,5)

b=4T2:(5,12,13)

b=4T3:(7,24,25)

b=4T4:(9,40,41)

估计可以看出规律：第一个数是奇数，第二个数是Tn，第三个数是(Tn)+1，回到习题2.3我们推出的结论:a=2k+1,b=2k(k+1),c=2k(k+1)+1，显然可以看出b是三角数的4倍，那么该规律成立。

习题2.6

关于b+2=c的问题

同样回到习题2.3中，我们推出的结论：a=4k，b=4k^2-1,c=4k^2+1，即为b+2=c的通项公式。

习题2.7

关于2c-2a的规律问题

打表发现2c-2a为完全平方数

试着进行证明：2c-2a=((s^2+t^2)/2-st)*2=(s-t)^2。证毕。