数论概论笔记（二）勾股数组

毕达哥拉斯定理（即勾股定理）

$$a^2+b^2=c^2$$

显然勾股数组有无穷个，对存在的勾股数组每个数乘上一个正整数d即可得到新的勾股数组。

因此我们关注两两互质的三元组，即本原勾股数组（简写作PPT）

证明本原勾股数组的一个性质：a和b奇偶性一定不同，且c总是奇数

证明：
假设a和b都是偶数，那么c也是偶数，因此a，b，c有公因数2，不是本原的
假设a和b都是奇数，那么c一定是偶数
不妨设
$$a=2x+1,b=2y+1,c=2z+1$$
代入方程并整理得到
$$2x^2+2x+2y^2+2y+1=2z^2$$
显然左边是奇数，右边是偶数，等式不可能成立。

综上，我们得到a，b奇偶性不同，且c一定是奇数

接着我们考虑如何求解本原勾股数组
由于a，b的对称性，我们可以把问题转化为求解方程
$$a^2=c^2-b^2=(c-b)(c+b)，a为奇数，b为偶数$$

首先我们观察一些例子
$$3^2=5^2-4^2=(5-4)(5+4)=1\cdot 9$$
$$15^2=17^2-8^2=(17-8)(17+8)=9\cdot 25$$
$$35^2=$$