【动态规划】之简单01背包《数字拆分》

数字拆分

Description

在N个数中找出其和为M的若干个数。先读入正整数NNN1≤N≤1001 \leq N \leq 1001N100)和M(1≤M≤10000)M(1 \leq M \leq 10000)M(1M10000)

再读入NNN个正数(可以有相同的数字,每个数字均在100010001000以内), 在这NNN个数中找出若干个数,

使它们的和是MMM, 把满足条件的数字组合都找出来以统计组合的个数,输出组合的个数(不考虑组合是否相同)。要求你的程序运行时间不超过111秒。

Input Format

第一行是两个数字,表示NNNMMM

第二行起是N个数。

Output Format

就一个数字,表示和为MMM的组合的个数。
Sample Input

4 4
1 1 2 2

Sample Output

3
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 10010
int a[N] , f[N] , m , n;
int main()
{
	scanf("%d%d" ,&n ,&m);
	for(int i = 1 ; i <= n ; i ++) scanf("%d",&a[i]);
	f[0] = 1;
	for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
		for(int j = m ; j >= a[i] ; j --)
			f[j] += f[j - a[i]];
	cout << f[m];
}

很好想的一个010101背包,用f[i]f[i]f[i]记录能组成数字为i的方案数,然后传递
最后输出结果能为mmm的方案数
首先要给f[0]f[0]f[0]赋值为111,这样的话f[a[i]]f[a[i]]f[a[i]]才能首先为111,进行传递
反之答案永远为000

for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
	for(int j = m ; j >= a[i] ; j --)

上面一个forforfor枚举从a[1]a[1]a[1]a[n]a[n]a[n]
下面对于每一个枚举从mmma[i]a[i]a[i],看有多少种已有方案加上a[i]a[i]a[i]能得到jjj
之所以是从mmma[i]a[i]a[i]而不是反过来从小到大,是因为如果从a[i]a[i]a[i]mmm的话,会造成a[i]a[i]a[i]的重复使用,这也正是010101背包与完全背包的不同之处
最后输出f[m]f[m]f[m]即可


以上为我初次完成这篇博客所写,不知道解释是否足够清楚,那么我现在重新再说一遍:

我们假设for循环是正着来的

那么比如第 111 件物品价值为 a1a_1a1 ,那么在我们 forforfor 循环的过程中,第一次受 a1a_1a1 影响时 f[a1]f[a_1]f[a1] 会受到改变,但是我们 forforfor 循环从前往后继续进行f[a1+a1]f[a_1+a_1]f[a1+a1] 是不是也会受到影响呢?因此我们还是要倒着来比较妥善点,上述情况其实造成的结果就是一个 a1a_1a1 多次使用,倒着来则不会出现这样的问题。

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