动态规划-- 背包问题总结

装箱问题

装箱问题
题目描述
有一个箱子容量为 $V$（正整数，$0\le V\le 20000$），同时有 $n$ 个物品$（0＜n\le 30）$，每个物品有一个体积（正整数）。
要求 $n$ 个物品中，任取若干个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。
输入描述
$1$个整数，表示箱子容量
$1$个整数，表示有 $n$ 个物品
接下来 $n$ 行，分别表示这 $n$ 个物品的各自体积
输出描述
$1$个整数，表示箱子剩余空间。
输入样例

24 6
8 3 12 7 9 7

输出样例

0

1.确定状态：开个bool 数组表示 $dp[i][j]$ 表示前 $i$ 个物品能否组成体积 $j$
2.确定状态转移方程：枚举最后一次的决策，第 $i$ 个物品是放还是不放

if(dp[i-1][j])
{
   
    dp[i][k+v[i]]=1;   //放第 i 个物品
    dp[i][k]=1;   //不放第 i 个物品
}

初值dp[i][j]=0；dp[0][0]=1;

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
0	T
1	T								T
2	T			T					T			T
3	T			T					T			T	T			T					T			T
4	T			T				T	T		T	T	T			T			T		T			T
5	T			T				T	T	T	T	T	T			T	T	T	T	T	T	T		T	T
6	T			T				T	T	T	T	T	T		T	T	T	T	T	T	T	T		T	T
**01滚动 – dp[i][0,1] 一行记录前一行的值，另一行记录当前行的值。
就地滚动：用一个一维数组，之前的状态和当前状态记在同一个数组里。**
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–
T		T	T		T							T		T	T		T		T	T		T

#include <iostream>
using namespace std;
int v,n,value[40],dp[20010];
int main()
{
   
    cin>>v>>n;
    for(int i=1;i<=n;++i) cin>>value[i];

    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=v;j>=value[i];j--)
            if(dp[j-value[i]])
                dp[j]=dp[j-value[i]];

    cout<<dp[v]<<'\n';
    return 0;
}

背包

01背包

01背包是在 $M$ 件物品中取出若干件放在空间为 $W$ 的背包，每件物品的体积为 $W_1$，$W_2$，… $W_n$，对应的价值是$P_1$，$P_2$ … $P_n$。
01背包的约束条件是给定几种物品，每种物品有且只有一个，并且有权值和体积两个属性。在 01 背包问题中，每个物品有且只有一个，对于每个问题只考虑选或者不选两种情况。如果选择放入背包中，由于不清楚之前放入的物品占据了多大的空间，需要枚举将这个物品放入背包后可能占据背包空间的所有情况。

背包问题

背包问题
题目大意
$01$ 背包是是一个普通的动态规划入门问题：
一共有 $n$ 个物品, 第 $i$ 个物品的体积为 $v[i]$；
有一个背包容量为 $m$，现在我要挑选一些物品放入这个背包
我现在知道在总体积不超过背包容量的情况下,他一共有多少种放法(总体积为0也算一种放法)。
$1<=n<=30,1<=m,v[i]<=1e^9$
这就是一个很简单的01背包问题，我可以告诉你核心代码怎么写：

很简单吧，但是……，你试一试吧。
输入描述
输入有多组，每一组第一行是 $n$ 和 $m$
接下来第二行到第 $n+1$ 行，第 $i+1$ 行表示 $v[i]$。
输出描述
输出每个样例的方案数，每个答案占据一行。
输入样例

3 10
1
2
4

输出样例

8

#include <cstdio>
using namespace std;
int n,m,a[55],num;
void dfs(int x,int sum)
{
   
    if(x == n+1)
    {
   
        num++;
        return  ;
    }
    dfs(x + 1, sum);
    if(sum + a[x] <= m) dfs(x + 1, sum + a[x]);
}
int main()
{
   
    while(~scanf(" %d%d",&n,&m))
    {
   
        num = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d",&a[i]);
        dfs(1,0);
        printf("%d\n",num);
    }
    return 0;
}

01背包输出方案

UVA 624 CD

题目大意
数据有若干组，第一个数 $v$ 表示拥有的权值，第二个数 $n$ 件物品，紧接着 $n$ 个数，每个数的权值和代价都是 $n_i$，在花费不超过 $v$ 的前提下能够拥有的最大权值总和是多少，每组数据输出 “每组的方案 $sum$: 最大权值总和”

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxv=1e5+7;
const int maxn=30;
int dp[maxv];
int w[maxn],t[maxn];
int g[maxn][maxv];
int ans[maxn];
int main()
{
   
    int v,n;
    while(~scanf(" %d %d",&v,&n))
    {
   
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        memset(g,0,sizeof(g));
        int cnt=0;
        for(int i=1;i<=n;++i) scanf(" %d",&w[i]);

        for(int i=1;i<=n;++i)
            for(int j=v;j>=w[i];--j)
                if(dp[j-w[i]]+w[i]>dp[j])
                {
   
                    dp[j]=dp[j-w[i]]+w[i];
                    g[i][j]=1;
                }

        for(int i=n,j=v;i>=1&&j>=0;--i)
        {
   
            if(g[i][j])
            {
   
                ans[++cnt]=w[i];
                j-=w[i];
            }
        }
        for(int i=cnt;i;--i) printf("%d ",ans[i]);
        printf("sum:%d\n",dp[v]);
    }
    return 0;
}

01背包问题

题目大意
有 $N$ 件物品和一个容量是 $V$ 的背包。每件物品只能使用一次。
第 $i$ 件物品的体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大，输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数 $N$，$V$，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 $N$ 行，每行两个整数 $v_i,w_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 件物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
$0<N,V\le 1000，0<v_i,w_i\le 1000$
输入样例

6 12
5 10
3 7
2 4
4 3
5 17
4 8

输出样例

8

确定状态：$f[i][j]$ 表示前 $i$ 个物品，背包容量 $j$ 的背包可获得的最大价值。
确定状态转移方程：
1.不放当前物品 $f[i][j]$ = $f[i-1][j]$。
2.放当前物品 $f[i][j]=f[i-$