整数拆分--动态规划法

题目：
将正整数n无序拆分成最大数为m的拆分方案个数，要求所有拆分方案不重复。

例如
n = 5, m = 5,对应的拆分方案如下：
5 = 5
5 = 4 + 1
5 = 3 + 2
5 = 3 + 1 + 1
5 = 2 + 2 + 1
5 = 2 + 1 + 1 + 1
5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1
思路：
由例题可知，顺序不影响结果，我们采用动态规划法来解决问题。建立数组dp[n+1][m+1].其中dp[i][j]指正整数i被拆分为最多j个数字的方案数。注意不是一定要拆为j个而是拆为1~j个。下面进行分析
1.当j=1 或者i=1，此时意为把数字1拆为n分，或者把数字n拆为1分。结果都是1
2.当i小于j, 此时由于拆分结果每个数字都要大于0，因此多余的j没用。此时dp[i][j]=dp[i][i]
3.当i=j，这里我们把1~j拆分，分为1到j-1和j。意思就是把i拆分为j份分为1.拆成最多j-1份2.一定拆成j份。那么容易明白前者为dp[i][j-1]，后者为1，因为i=j. 此时dp[i][j]=1+dp[i][j-1]
4.当i>j，此时与第三条类似，我们同样把1~j拆分，分为1到j-1和j。前者为dp[i][j-1]。后者继续分析，此时i>j，又必须分为j份，那么我们可以首先分为j份1，此时的和为j，剩下还有数字i-j，我们把剩下的数字i-j随机分到j份中即为结果。dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i][j-1]
比如求dp[5][4]，首先dp[5][3]=5，然后把5分为4份，我们先给每份一个1，此时还剩下1，把一分为最多4份即dp[1][4]，其结果是1（因为不考虑顺序）.

public class Solution{

    public  int integerhuafen(int n, int m) {

        int dp[][] = new int[n + 1][m + 1];
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            for(int j = 1; j <= m; j++ ){
                if(i == 1 || j == 1){
                    dp[i][j] = 1;
                }else if (i == j) {
                    dp[i][j] = 1 + dp[i][j - 1];
                }else if (i < j) {
                    dp[i][j] = dp[i][i];
                }else {
                    dp[i][j] = dp[i - j][j] + dp[i][j - 1];
                }
            }
        }
        return dp[n][m];
    }
}