【数据结构】之点分治理解与基础模板

点分治的理解与适用范围

​ 点分治 被归到 数据结构 一章必然存在其原因，我们已知常用的类似 线段树 或者 树状数组 这些都可以实现 区间 上的维护，然而点分治 虽然是在 树 上进行的，但并非完全是图论，因为 点分治 也能维护区间的一些特性，只是由“序列上的区间”转化为了“树上两点之间的路径”。同时，这一过程需要是静态的而不能进行修改。

​ 假设有一个由带边权的无向图构成的树，点 $x$ 到点 $y$ 路径上边的权值之和称为这两个点之间的距离，问长度不超过 $k$ 的路径有多少条。如果用很 暴力 的方法是不是要从每个点出来跑一边图啊，那么是不是复杂度很爆炸，然而点分治可以用 $O(NlogN)$ 的时间复杂度解决这个问题：

假设我们指定 $p$ 节点为这个数的根，那么树上的路径可以分为两类：

​ $1.$ 经过根节点 $p$ ；

​ $2.$ 包含于 $p$ 的一棵子树中，即“不经过根节点”。

然而针对第二种情况，我们显然可以通过 递归 使其变成一个子问题，然后我们就处理时候就相当于在对链处理了。

比如这样的一条链：

我们是不是可以设置一个根节点（这里假设 $3$ 为根节点），我们把这个图看做两部分，分别为 $5-4-3$ 和 $3-2-1$ ，然后我们注意到只需分别讨论出这两部分的边的特质，就可以合在一起算了。

如果再加上一条链变成

我们同样以点 $3$ 作为根节点，然后跑这个图，假设先跑了 $3-2-1$ 这边，我们是不是可以把其中的答案先存到一个 vector 里面，然后再跑 $3-4-5$ 这条边，将其中的长度和 vector 中的数据匹配组合，然后再存入 vector 中，然后再跑 $3-6-7$ 这条边并将其中的长度和 vector 中已经存的路径长度进行匹配计算贡献。因此对于一次这样的操作，我们每个点都只会访问一遍，时间复杂度为 $O(N)$ 。

现在考虑为什么选用点 $3$ 来做根节点呢？因为点 $3$ 是这个 树的重心 。我们考虑为什么要用 重心 作为根节点，比如假设我们现在要处理的 树 是一条 链 ，我们随便找了一个点，比如说是点 $1$

是不是后面的还是一条链，还是要每个点当成根节点来跑一遍。可是如果我们选择了点 $3$ 作为根节点，

那么是不是只需要再以点 $2$ 和点 $4$ 为根节点来跑这个图。那么是不是相当于我们如果每次以重心为根节点，这个 树/子树 都最多只会有