线性代数让我想想：相似矩阵与矩阵的相似对角化

相似矩阵与矩阵的相似对角化

一、相似矩阵

首先我们来看教材的定义：

定义：设 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵，若存在可逆矩阵 $\mathbf{P}$，使得 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{B}$，则称 $\mathbf{B}$ 是 $\mathbf{A}$ 的相似矩阵，或 $\mathbf{A}$ 相似于 $\mathbf{B}$，记成 $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$. ——永乐全书P256

根据我们对矩阵乘法的理解（参考之前的文章），我们都知道矩阵其实是一种线性变换，那么，如果对于一个向量，左乘或者右乘一个矩阵其实就是施加了一次线性变换操作。

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一个向量的基本特征包括方向和模长。通常情况下我们会采用“坐标”的方式去描述一个向量。也就是我们用一组数值去刻画一个向量的特征。而且这个坐标的坐标系会选取自然坐标系(自然基)。那么，向量还是这个向量，我们换一个坐标系去描述这个向量，可不可以呢？

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我们尝试选取另外一组基去表示这个向量，然后我们发现，向量的坐标，或者说代表向量的数值产生了变化。那么这个向量还是原来的向量吗？是的，因为这个向量的方向和模长并没有发生变化。只是我们采用了与以往不同的视角去看待它了。

在理解这个地方的时候，我们通常会提到一个著名且有趣的比喻：猪照理论。即我们用照相机在不同的位置对一只猪进行拍照，我们洗出来的照片肯定是不相同的，但猪猪还是那个猪猪，这是不变的。

我们把这套理论扩展到矩阵，首先，由于我们可以把矩阵看作成一个列向量组，我们依然可以用向量的视角去讨论它们；其次，矩阵本质上也是它所代表的线性变换操作，所以两个矩阵相乘可以表达对列向量组进行基变换的过程。比如说这样一个矩阵 $A$ ，它代表将某个向量旋转 $\theta$ 度，拉伸 $\lambda$ 倍，那么在直角坐标系下的变换可能如下图所示：

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接下来我们对向量进行如下操作：

首先，我改变该线性变换所在的基，那么从数值表示上来看，向量和矩阵的数值都发生了改变。

然后，在新的基下，我对向量施加 $A$ 线性变换，得到新的向量。此时，我们会发现，不考虑数值特征的话，该向量变换前后的几何含义是一样的，也是旋转 $\theta$ 度，拉伸 $\lambda$ 倍。

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于是我们得出相似矩阵的几何意义：相似矩阵是同一个线性变换在不同基下的代数表达(数值表示)。

**直观上，**我们对相似矩阵的定义式进行感受性的理解：
$$P^{-1}AP=B$$
我们对矩阵 $A$ 左乘一个矩阵 $P^{-1}$ 是对矩阵 $A$ 进行了一系列的行变换，也就是基变换（即在同一个向量空间下对基底进行变换），然后我们对得到的矩阵进行右乘 $P$ 的操作，也就是一系列的列变换（即对同一个基底变换向量空间）。

下面我们进行代数推导：

推导条件：$x=P{x}^{\prime }$ ，$y=Ax$，$y^{\prime }=B{x}^{\prime }$，$y=P{y}^{\prime }$

序号	步骤	意义解释	结果
1	$y=P{y}^{\prime }$	$y^{\prime }$ 通过基变换($2\to 1$)可以得到 $y$	$y$
2	$y=Ax=P(y^{\prime }=B{x}^{\prime })$	整理化简得到下一步	$y$
3	$Ax=PBx’ $	$x$ 在旧基下的线性变换可以通过 $x^{\prime }$ 在新基下的线性变换进行基变换得到	$y$
4	$A(x=P{x}^{\prime })=PB{x}^{\prime }$	整理化简得到下一步	$y$
5	$AP{x}^{\prime }=PB{x}^{\prime }$	$x^{\prime }$ 先通过基变换($2\to 1$)得到旧基下的 $x$，再进行线性变换Ⅰ，等同于 $x^{\prime }$ 先在新基下进行线性变换Ⅱ，再进行基变换($2\to 1$)	$y$
6	$P^{-1}AP{x}^{\prime }=B{x}^{\prime }$	$x^{\prime }$ 先基变换($2\to 1$)后进行线性变换Ⅰ，然后进行基变换($1\to 2$)，等同于 直接进行线性变换Ⅱ	$y^{\prime }$
7	$P^{-1}AP=B$

在映射的语境下，矩阵实际代表了线性变化的过程，也可以称为广义线性函数。

二、相似对角化

有了相似矩阵之后，我们要考虑的问题是，那么多的相似矩阵，我们要研究哪个或者哪些才好呢？当然我们期望寻求一个既能体现其本质，又简单的相似矩阵来研究。

那么我们考虑两个问题：本质是什么？谁是简单的？
相似矩阵的本质是同一个线性变换在不同基下的代数表达，于是我们保留本质的过程就变成了寻求新基的过程。
而对角阵显而易见是我们能找到的在不丢失向量信息(不降维)下最简单的矩阵。

于是问题变成了：我们如何寻求一个新基表示下最简单的相似矩阵。

这个问题的求解就是所谓的相似对角化。

我们发现，通过相似对角化后的矩阵，其对角线是矩阵的特征值。这意味着，我们找到了一组新基，尽可能简单地表达了矩阵。同时，特征值意味着基变换的过程中仅仅进行了伸缩变换（由特征值定义）。于是我么可以得到：

线性变换的相似对角化实质是寻找一个适当的坐标系，使得该变换对这个新的坐标系上的单位向量(或基向量)只做伸缩变换、不做旋转变换。

三、相似对角化的条件

那么紧接着我们就会考虑一个问题：什么样的矩阵才可以对角化？

（等待更新ing）

• 是对称阵——>✅
• 不是对称阵——>求特征值
  • 特征值全是单根——>✅
  • 特征值重数与线性无关特征向量个数一致——>✅
  • 存在n个线性无关的特征向量——>✅

参考文章：(3 封私信) 为啥得线性无关才能对角化，从几何意义上怎么理解，多谢大神? - 知乎 (zhihu.com)