相似矩阵和相似对角化

矩阵的相似

定义：设$A,B$是两个$n$阶方阵，若存在$n$阶可逆矩阵$P$,使得$P^{-1}AP=B$，则称$A$相似于$B$，记成$A\sim B$

矩阵相似是一种等价关系
$(1)$$A\sim A$（反身性）
$(2)$若$A\sim B$,则$B\sim A$（对称性）
$(3)$若$A\sim B,B\sim C$则$A\sim C$（传递性）

相似矩阵的性质
$(1)$若$A\sim B$则有：

$1^{\circ}:$$r(A)=r(B)$;
$2^{\circ}:$$|A|=|B|$;
$3^{\circ}:$$|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$；
$4^{\circ}:$$A,B$有相同的特征值

$(2)$若$A\sim B$则有：
若$A^m\sim B^m;f(A)\sim f(B)$（其中$f(x)$是多项式）
$(3)$若$A\sim B$且$A$可逆，
则$A^{-1}\sim B^{-1},f(A^{-1})\sim f(B^{-1})$（其中$f(x)$是多项式）
$(4)$若$P^{-1}A_1P=B_1$，$P^{-1}A_2P=B_2$，
则$P^{-1}A_1A_2P=P^{-1}A_1PP^{-1}A_2P$即$A_1A_2\sim B_1B_2$
$(5)$$P^{-1}(k_1A_1+k_2A_2)P=k_1P^{-1}A_1P+k_2P^{-1}A_2P$

对称矩阵的对角化(方阵)

对称矩阵的一些性质：
1：对称矩阵的特征值为实数
2：设$\lambda_1$和$\lambda_2$是对称矩阵$A$的两个特征值，$\mathbf{p}_1$，$\mathbf{p}_2$是对应的特征向量，若$\lambda_1\neq\lambda_2$,则$\mathbf{p}_1$和$\mathbf{p}_2$正交

定理：
设$A$为$n$阶对称矩阵，则必有正交矩阵$P$使得，$P^{-1}AP=P^{T}AP=\Lambda$其中$\Lambda$是以$A$的$n$个特征值为对角元的对角矩阵

推论：
设$A$为$n$阶对称矩阵，$\lambda$是$A$的特征方程的$k$重根，则矩阵$A-\lambda E$的秩$R(A-\lambda E)=n-k$，从而对应的特征值$\lambda$恰好有$k$个线性无关的特征向量。

矩阵可以对角化的条件

若存在可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=\Lambda$，其中$\Lambda$是对角矩阵，则称$A$为可相似对角化，记$A\sim\Lambda$，称$\Lambda$是$A$的相似标准型。

$(1)$$n$阶矩阵$A\sim\Lambda$$\Leftrightarrow$有$n$个线性无关的特征向量


$(2)$矩阵$A$的属于不同的特征值的特征向量线性无关，若$n$阶矩阵$A$有$n$个不同的特征值，则$A$有$n$个线性无关的特征向量，于是$A\sim\Lambda$


$(3)$设$\lambda_0$是$A$的$r$重特征值，则$A$对应于$\lambda_0$的线性无关的特征向量的个数小于等于$r$.
矩阵$A$相似于对角矩阵$\Leftrightarrow$$A$的对应于每个$r_i$重特征值都有$r_i$个线性无关的特征向量。

实对称矩阵必可相似于对角矩阵

$(1)$$A$是实对称矩阵，则$A$的特征值是实数，特征向量是实向量
$(2)$实对称矩阵$A$的属于不同特征值的特征向量相互正交
$(3)$实对称矩阵$A$必相似于对角矩阵，即必有$n$个线性无关的特征向量$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$，即必有可逆矩阵$P=[\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n]$使得$P^{-1}AP=\Lambda$，其中$\Lambda=dig(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$，且存在正交矩阵$Q$，使得$Q^{-1}AQ=Q^TAQ=\Lambda$,故$A$正交相似于$A$.

奇异值分解(不是方阵)

假设$A$是一个$m\times n$,其中$m>n$(这个假设只是为了方便，如果$m<n$，所有结论依然成立)。
我们给出一种方法，确定$A$是如何接近一个较小秩的矩阵。
这种方法包括将$A$分解为一个乘积$U\Sigma V^T$,其中$U$是一个$m\times m$的正交矩阵，$V$是一个$n\times n$的正交矩阵，$\Sigma$是一个$m\times n$的矩阵，其对角下的所有元素为$0$,且对角线元素满足

$$\sigma_1\geq\sigma_2\geq\cdots\geq\sigma_n\geq0$$

$$\Sigma=\begin{pmatrix}\sigma_1&&&\\ &\sigma_2&&\\ &&\ddots&\\ &&&\sigma_n\\\end{pmatrix}$$
采用这种因式分解得到的$\sigma_i$是唯一的，并且称$A$的奇异值。
因式分解$U\Sigma V^T$称为的奇异值分解