线性代数让我想想：线性方程组的解

最新推荐文章于 2025-01-06 17:02:00 发布

野原星月

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文章标签：线性代数矩阵

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Ding_Yifan/article/details/125698069

本文详细探讨了线性方程组的解的情况，包括齐次和非齐次线性方程组。对于齐次线性方程组，无论系数矩阵是否为方阵，至少存在一个零解；当系数行列式不为零时，解是唯一的。非齐次线性方程组则必定没有零解，系数行列式不为零时有唯一解，为零时可能无解或有无穷解。此外，介绍了克拉默法则和矩阵秩在判断解的存在性和唯一性中的应用。

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线性方程组的解

一、如果是齐次线性方程组：

观察易得，齐次线性方程组必定有一个零解，不可能无解。
$\left\{\begin{array}{l} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\ \cdots \\ a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}=0 \end{array}\right.$

01 如果系数矩阵为方阵：

解的情况：唯一零解或者无穷非零解

应用克拉默法则：

齐次线性方程组的系数行列式数行列式 $∣A∣≠0|\boldsymbol{A}| \neq 0$ ，则方程组有唯一零解。

( 齐次线性方程组有非零解，充要条件是其系数行列式 $∣A∣=0|\boldsymbol{A}|=0$ . )

02 如果系数矩阵不是方阵：

解的情况：唯一零解或者无穷非零解

求出系数矩阵 $A_{m×n}$ 的秩 $r (A) = r$ .

如果 $r < n$ ，那么齐次方程组一定有非零解；反之亦成立（充要条件）
- 显然 $r < m$ ，恒成立。
- 如果 $m < n$ ，齐次方程组一定有非零解。
当 $r < n$ 时，方程组有 $n - r$ 个线性无关的非零解。
- 方程组的任一个解都可由这 $n - r$ 个线性无关的解线性表出。
- 也就是说，方程组的基础解系由 $n - r$ 个解向量构成。

二、如果是非齐次线性方程组：

观察易得，非齐次线性方程组必定没有零解。
$\left\{\begin{array}{l} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_1 \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_2 \\ \cdots \\ a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}=b_m \end{array}\right.$