线性代数让我想想：特征值与特征向量

特征值与特征向量

我们从理解矩阵乘法的角度看特征值、特征矩阵和特征向量，矩阵乘法的理解问题参考上一文章，本文不再讨论。

首先，特征值的定义式是
$$A\alpha =\lambda \alpha$$
A是一个n阶矩阵(方阵)，$\alpha$ 是一个向量，$\lambda$ 是一个数（暂定为实数，最后推广到复数域）

根据矩阵乘法的几何意义，我们知道左乘矩阵代表了对向量 $\alpha$ 进行线性变换的操作。我们不妨把线性变换后的向量记作 $\beta$ ，于是我们得到：
$$\beta =\lambda \alpha$$
这正满足向量平行(共线)的定义。结合特征值定义式，特征值的含义是，存在一个矩阵对向量进行线性变换，使得变换得到的结果与原向量共线平行。（或者说，存在一个矩阵通过一系列线性变换操作控制向量在原来的方向进行伸缩，而不偏移。）

到这里实数域的几何意义讨论完了，推广到复数域，即特征值为复数是什么情况：查阅资料发现，复数特征根中的虚数在几何意义上表现在旋转操作，但是考研不要求掌握，在此就不深究了。