高等数学（上）（第七版同济大学）笔记：数列的极限

最新推荐文章于 2022-04-22 14:46:07 发布

LUFEIYUELUFEIYUE

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分类专栏：高等数学笔记文章标签：高等数学

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这篇笔记详细探讨了高等数学中数列极限的概念，包括定义、证明方法及收敛数列的特性。通过举例说明如何按照定义证明数列的极限，解释了收敛数列的唯一性、有界性、保号性和子数列收敛性，并提供了发散数列的判别方法。此外，还列举了关于极限定义的常见错误和重要推论。

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第一章函数与极限

第二节数列的极限

（1）定义

$\forall$ $\varepsilon > 0,$ $\exists$ 正整数N ，当 $n> N$ 时， $\left | a_{n} -a\right |< \varepsilon$ 成立。

（2）按照定义证明数列极限（例1、例2、例3）

① 将数列通式带入定义中的不等式。

② 对不等式进行化简。

② 根据所得不等式找到确定的N，使得大于N时等式成立。

化简方法1：找到所得不等式右边还要大的式子，由有这个大的式子找到确定的N，使等式成立。

例： $\frac{1}{n^{2}+1} < \frac{1}{n^{2}}$ ， $\frac{1}{2(2n+1)} < \frac{1}{4n}$ , $\left | \frac{1}{n} \cos \frac{n\pi }{2}\right | \leq \frac{1}{n}$

化简方法2：当式子中有指数时，可不等式两边取对数。

（3）按照定义证明数列发散（例4）

① 构造特定值给 $\varepsilon$ 带入不等式。

② 证明不等式不成立，或不存在这样的N。

（4）收敛数列的性质

① 唯一性

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