高等数学笔记：从导数定义视角的一个极限命题讨论

繁星数学随想录·笔记卷

导数卷

从导数定义视角的一个极限命题讨论

• 存在命题：
  

• (1) 和 (2) 的关系？=>没有关系！

• 命题 $(1)$ 代表函数 $f(x)$ 在 $0$ 处可导；

  命题 $(2)$ 代表函数 $f(x)$ 在 $0$ 的去心邻域内可导 (即不确定在 $0$ 处是否可导) 。

• 命题 $(1)$ 是导数在某一点的定义；

  命题 $(2)$ 是导函数的极限，而极限是区域性质。

• 给出如下例证：

  

  $f(x)=\{\begin{array}{l}{x}^{2}x\ne 0\\ 1,x=0\end{array}$
  $f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{l}2xx\ne 0\\ 不存在x=0\end{array}$

  $在x=0处$，

  $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\infty$

  $\underset{x\to 0}{\lim }{f}^{\prime }(x)=0$

  $显然(1)和(2)不等价$

• 如果命题改为：
  

• 则 $(2’)\Rightarrow (1^{\prime })$，即 $(2^{\prime })$ 是 $(1^{\prime })$ 的充分不必要条件